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Álgebra CyT
13-5-13 Primer Parcial
Prof. G. Saslavsky
Estudiante: ________________________
Calificación: ___________________
TEMA 1
1.a)Halla la posición relativa de los planos π1 :3x−2y+z=2 y π2 :2x− y+z=−3
b)Halla la distancia al origen de la recta que pasa por (1, 3, 2) y es perpendicular al plano π1
2.a)Halla el volumen de un paralelepípedo formado por los vectores
a =(2,1, 0) , ⃗b=(−2,−2,−1) y ⃗
⃗
c =(−1, 0, 2) .
a en la dirección normal al plano paralelo a los otros 2 vectores.
b)Da la proyección de ⃗
3.a)Usando el teorema de Rouchè-Fröbenius indica qué tipo de sistema es
x+2z=3
3x+ y+z=−1
2y −z=−2
x− y−2z=−5
b)Da la posición relativa de los 4 planos representados por el sistema anterior.
4.a)Halla el valor de k para que los puntos
A (1,0 ,1) , B(2,1 ,3),C (0,1 ,2) y D(k ,2 k ,−1) sean
coplanares.
b)Da la ecuación paramétrica del plano que los contiene.
5.Indica si la proposición es V o F. Si es falsa, muestra un contraejemplo y si es verdadera,
demuéstrala.
•
El producto vectorial es anticonmutativo.
•
La multiplicación de matrices verifica la ley del producto nulo.
•
La distancia entre los planos π1 : Ax+By+Cz=D1 y π2 : Ax+By+Cz=D2
es
•
∣D1−D2∣
√ A²+B²+C²
Cuando al reducir la matriz ampliada de un S.E.L. aparece una fila de ceros el sistema es
compatible.
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13-5-13 Primer Parcial
Prof. G. Saslavsky
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TEMA 2
1.a)Comprueba que la recta
x−2y+2z=3
y el plano π :2x− y−3z=2 son secantes
−x+3y−z+1=0
b)Calcula las coordenadas del punto de intersección.
2.Sean los puntos A (3, 2, 1) , B (1,1, 1) y C(−1, 3,2) .
a)Halla el área del triángulo ABC
BC
AB en la dirección del ⃗
b)Calcula la magnitud y la dirección de la proyección del vector ⃗
3.a)Usando el teorema de Rouchè-Fröbenius indica qué tipo de sistema es
x+ y+2z=7
3x− y+4u=1
x−3y−4z+4u=−13
b)Da el conjunto solución
4.a)Halla la ecuación general del plano que contiene a la recta
x+2y−z=−3 y que pasa por el
2x− y +z=1
punto (1, 1, -2)
b)Halla la distancia al origen del plano paralelo a π : 2x− y+z =−3 y que pasa por (1, 2, 1)
5.Indica si la proposición es V o F. Si es falsa, muestra un contraejemplo y si es verdadera,
demuéstrala.
•
El producto escalar de vectores de R3 es distributivo respecto a la suma de vectores.
•
La multiplicación de matrices verifica la propiedad cancelativa.
•
La distancia al origen de la recta
•
Cuando al reducir la matriz ampliada de un S.E.L. aparece una fila de ceros el sistema es
compatible indeterminado.
L: ⃗
P = P⃗0+t V⃗ es
⃗∣
∣P⃗0 X V
⃗
∣V∣
Álgebra CyT
13-5-13 Primer Parcial
Prof. G. Saslavsky
Estudiante: ________________________
Calificación: ___________________
TEMA 3
1.a) Halla la ecuación general del plano que contiene a la recta
x+2y −z+3=0 y al punto
2x− y+z−1=0
P(1, 1, -2)
b) Calcula la distancia al origen del plano 2x−3y+2z=−5
2.a)Halla el área de un triángulo cuyos vértices son los puntos
A (3, 2, 1) , B (1,1, 1) y C(−1, 3,2) .
b)Da la ecuación vectorial de la recta que contiene la mediana del lado
AB
3.a)Usando el teorema de Rouchè-Fröbenius indica qué tipo de sistema es
2x− y+3z=2
−x+ y+2z=0
y+7z=2
b)Da la posición relativa de los 3 planos representados por el sistema anterior.
4.a) Halla las ecuaciones paramétricas y la ecuación general del plano que pasa por
P(1,7 ,−2), Q(4,5 ,0) y R(6,3 ,8)
b)Calcula n para que
A (1, n ,5) pertenezca al plano.
5.Indica si la proposición es V o F. Si es falsa, muestra un contraejemplo y si es verdadera,
demuéstrala.
•
El producto de un vector de n-dimensiones por un escalar distribuye respecto a la suma de
escalares.
•
La multiplicación de matrices es conmutativa.
•
La distancia de un punto
expresión
•
A (x 1, y 1, z 1) a la recta
L: ⃗
P = P⃗0+t V⃗ puede calcularse con la
⃗
∣⃗
AP 0 X V∣
⃗
∣V∣
Si al reducir la matriz ampliada de un S.E.L. aparece una fila de ceros el sistema no puede
ser compatible determinado.