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ÁNGULOS
Un ángulo es la medida de la abertura entre dos semirrectas. Definido de otra forma el
Ángulo es una parte del plano limitada por dos semirrectas que tiene el mismo origen.
Las semirrectas se llaman lados y el origen común, vértice.
i
La medida más común de un ángulo es en grados ( º ). El instrumento que me permite
medir ángulos se llama TRANSPORTADOR.
La medida de un ángulo está determinada por la mayor o menor abertura existente
entre sus lados.
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
SEGÚN SU MEDIDA:
ÁNGULO NULO: Ángulo que mide exactamente 0º(se lee cero grados)
ÁNGULO RECTO: Ángulo que mide exactamente mide exactamente 90º
ÁNGULO LLANO: Ángulo que mide exactamente 180º
ÁNGULO AGUDO: Ángulo que mide más 0º y menos de 90º
ÁNGULO OBTUSO: Ángulo que mide más de 90º y menos de 180º
ÁNGULO COMPLETO: Ángulo que mide exactamente 360°
SEGÚN SU POSICIÓN:
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
ÁNGULOS CONSECUTIVOS: Dos ángulos son consecutivos si comparten el vértice y tienen
un lado en común.
ANGULOS ADYACENTES: dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y además entre
los 2 suman 180º
ÁNGULOS CONGRUENTES
Dos o más ángulos son congruentes si tienen la misma medida. La congruencia se
denota con el símbolo 
Bisectriz de un ángulo
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que parte del origen y divide el ángulo en dos
ángulos congruentes.
C
D
B
Bisectriz
A
ÁNGULOS ESPECIALES
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS:
Dos ángulos son complementarios si y sólo si la suma de sus medidas es 90º. Cada uno de
ellos se llama el complemento del otro.
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS:
Dos ángulos son suplementarios si y sólo si la suma de sus medidas es 180º. Cada uno de
ellos se llama el suplemento del otro.
TRIÁNGULOS
El triángulo es un polígono de tres lados.
El triángulo está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o
por tres puntos no alineados llamados vértices.
Los lados de un triángulo se escriben en minúscula, con las mismas letras de los vértices
opuestos.
Los vértices de un triángulo se escriben con letras mayúsculas.
Los ángulos de un triángulo se escriben igual que los vértices.
La suma de los ángulos interiores de un TRIÁNGULO es igual a 180°.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

Según la medida de sus lados hay 3 tipos de triángulos. Estos son:
Triángulo Equilátero
Es un triángulo que
tiene sus tres lados de
igual medida; o lo que
es lo mismo, TRES
LADOS
CONGRUENTES
Triángulo Isósceles
Es un triángulo que
tiene DOS LADOS
CONGRUENTES (es
decir, de igual medida).
El lado que tiene una
medida diferente se
llama base, en este
caso sería el lado AB.
Triángulo Escaleno
Es un triángulo que
tiene
TODOS
LOS
LADOS DE DIFERENTE
MEDIDA

Según la medida de sus ángulos, también encontramos 3 tipos de
triángulos. Ellos son:
Triángulo Acutángulo
Es un triángulo que
tiene
3
ángulos
interiores agudos, es
decir, cada uno de
sus
tres
ángulos
interiores tienen una
medida menor de 90°
Triángulo Rectángulo
Es un triángulo que
tiene un ángulo recto,
es decir, un ángulo que
mide exactamente 90°.
En este caso: m<CAB
= 90°
< ABC y < BCA =
ángulos agudos.
Obtusángulo
Es un triángulo que
tiene
un
ángulo
obtuso, es decir, uno
de
sus
ángulos
interiores tiene una
medida mayor de 90°
y menor de 180°.
Los
otros
dos
ángulos interiores del
triángulo son agudos
CUADRILÁTEROS
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.
CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS
PARALELOGRAMOS
Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en:
Cuadrado
Tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos.
Rectángulo
Tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos.
Rombo
Tiene los cuatro lados iguales.
Romboide
Tiene lados iguales dos a dos.
TRAPECIOS
Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Se
clasifican en:
Trapecio rectángulo
Tiene un ángulo recto.
Trapecio isósceles
Tiene dos lados no paralelos iguales.
Trapecio escaleno
No tiene ningún lado igual ni ángulo recto.
Trapezoides
Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo.
Tomado de: http://www.vitutor.com/geo/eso/pl_6.html
MEDIDAS DE LONGITUD
El sistema métrico decimal es el conjunto de medidas que se derivan del metro.
El metro (m) es la unidad fundamental del sistema métrico decimal y se emplea
para medir longitudes.
Múltiplos del metro
Submúltiplos del metro
Los múltiplos del metro son:
Los submúltiplos del metro son:
Kilómetro (Km) = 1.000 metros
decímetro (dm) = 10 centímetros
Hectómetro (Hm) = 100 metros
centímetro (cm) = 10 milímetros
Decámetro (Dm) = 10 metros
metro
milímetro (mm) = una milésima parte del
1 Metro = 10 decímetros.
1 Metro = 100 centímetros
1 Metro = 1.000 milímetros.
También utilizamos otras medidas, como son:
La pulgada que equivale aproximadamente a 2,54cm, es decir, a 25,4 milímetro
La yarda que equivale aproximadamente a 0,9144cm, es decir, a 91,44 cm.
La vara que equivale aproximadamente a 80 cm.
En la práctica trabajamos con:
Yarda = 90cm
Vara =80cm
CONVERSIÓN DE UNIDADES
Para convertir o pasar una medida de unidad mayor a otra menor, multiplicamos
por 10, 100, 1000,…. según sea la unidad en la cual queramos expresarla o
convertirla. Ejemplos:
Es decir, para pasar una cantidad expresada en una unidad de longitud a uno de
sus múltiplos o submúltiplos aplicamos el anterior proceso.
- Para convertir 10 m a cm y luego a dm:
10 x 100 = 1.000
10x10= 100
10 m = 1.000 cm
10 m = 100 dm
Recordemos que para poder sumar medidas de longitud deben estar expresadas
en la misma unidad.
Ejemplo:
1.Convertir 5km a m
5km x 1000m = 5000m
1km
Observa que se multiplica tres veces por 10 pues hemos bajado tres posiciones en la
tabla.
2. Convertir 16 Dm a dm
16Dm x 10m
1Dm
x 1 dm
0,1m
= 1600 dm
Observa que se multiplica dos veces por 10 pues hemos bajado tres posiciones en la
tabla.
Recuerda que pulgadas (in) in = 2.54cm
3. Convertir 2in a cm
2 in x 2,54cm = 5,08 cm
1in
Observa que dijimos que in = 2.54cm por tanto si queremos saber cuánto es 2in
multiplicamos 2.54 * 2.
Nota importante: En los ejemplos vimos cómo pasar de una unidad superior a una
inferior, ejemplo de Km a metros para lo cual multiplicábamos por 10 cuantas veces
fuera necesario. Cuando el procedimiento que se quiere hacer es pasar de una unidad
inferior a una superior como por ejemplo de metros a kilómetros, lo que hacemos es
dividir por 10 cuantas veces sea necesario. Se establece cuantas veces se divide según
la posición que tenga en la tabla la unidad de medida, por ejemplo, si vamos a pasar dm
a mm dividiríamos dos veces por 10.
PERÍMETRO
Es la suma de las medidas de las longitudes de los lados de una figura
Ejemplo:
Hallar el perímetro de la siguiente figura.
10 m
4m
17 m
Perímetro = 10 m + 4 m + 17 m =31 m
El perímetro Del triángulo es de31 metros
Ejemplo:
Hallar el perímetro de la siguiente figura.
1hm
3dm
150m
Para hallar el Perímetro de la figura primero debemos convertir todos los valores a una
misma unidad, para luego sumarlos. En este caso vamos a convertir todas las unidades
en metros.
1Hm x 100m = 100m
1Hm
3 dm x 0,1m = 0,3m
1dm
Perímetro = 100m + 0,3m + 150m
= 250,3m
El perímetro Del triángulo es de250,3metros
ESTADÍSTICA
En el grado quinto de un colegio hay 40estudiantes. Cada trimestre se registran el
número de personas que cumplen años en dichos trimestres, la representante del grupo
organizó la siguiente tabla de frecuencias.
Primer trimestre
Segundo trimestre
Tercer trimestre
Cuarto trimestre
15 estudiantes
11 estudiantes
6 estudiantes
8 estudiantes
La FRECUENCIA ABSOLUTA es el número de veces que se repite un dato1
La FRECUENCIA RELATIVA de un dato es el cociente entre ese dato y el número total
de datos. Puede expresarse como una fracción o un decimal.
Ejemplo:
Preguntamos a 18 personas sobre su color preferido y registramos los datos en la
siguiente tabla. ¿Cuál es la frecuencia absoluta del color negro y cuál la del color rojo?,
¿Cuál es la frecuencia relativa del color rojo?
COLOR
Rojo
Negro
Amarillo
Verde
Total
PREFERENCIA
6
3
0
9
18
La frecuencia absoluta del color negro es 3, porque ese dato se repite 3 veces
La frecuencia absoluta del color rojo es 6, porque ese dato se repite 6 veces.
1
Tomado de: BRAVO, Ana Gabriela. Desafíos Matemáticas 5. Grupo Editorial Norma. Bogotá. 2001.
La frecuencia relativa del color rojo es
6
1
y si la simplificamos sería , ese dato se
18
3
repite 6 veces y se divide entre el total de datos que en este caso son 18.
Media aritmética, Mediana y Moda2
El resultado de adicionar todos los datos y dividir la suma entre el número total de
ellos se llama media aritmética o promedio.
La Mediana de un grupo de datos es aquel que se encuentra en la mitad, luego de
ordenarlos de menor a mayor.
Cuando el número de datos es par, la mediana se halla adicionando los dos datos del
centro y la suma se divide entre dos.
La moda es el dato que más se repite en un conjunto de datos.
Ejemplo
Calculemos la media aritmética, la mediana y la moda de la cantidad de metros
recorridos por cada uno de los siguientes atletas:
Juan:
Pedro:
María:
Carmenza:
Consuelo:
Alejandro:
Roberto:
Camila:
5000 metros
3500 metros
5000 metros
3400 metros
2000 metros
6500 metros
4000 metros
3600 metros
Hallemos la media aritmética:
Para ello sumemos todos los datos y dividámoslos entre 8 que es el total de datos que
tenemos:
Entonces:
5000 + 3500 + 5000 + 3400 + 2000 + 6500 + 4000 + 3600 = 33000
Ahora dividamos 33000 entre 8
33000 ÷ 8 = 4125
2
Tomado de: BRAVO, Ana Gabriela. Desafíos Matemáticas 5. Grupo Editorial Norma. Bogotá. 2001.
Por lo tanto la media aritmética o promedio de la cantidad de metros recorridos por los
atletas es de 4125 metros.
Ahora hallemos la mediana, para ello debemos ordenar los datos de menor a mayor:
2000, 3400, 3500, 3600, 4000, 5000, 5000, 6500
Datos centrales
Entonces adicionemos 3600 + 4000 y nos da 7600 y lo dividimos entre 2
obtenemos que:
y
7600 ÷ 2 = 3800
Por lo tanto la mediana de la cantidad de metros recorridos por los atletas es de 3800
metros.
Y como la moda es el dato que más se repite y 5000 se repite dos veces y los demás
datos no se repiten, entonces la moda es 5000.
Es decir que la moda de la cantidad de metros recorridos por los atletas es de 5000
metros.
GRÁFICAS
Las gráficas (al igual que las tablas) nos ayudan a entender mejor la información.
DIAGRAMA DE BARRAS
En un diagrama de barras los datos se representan en la base de cada barra y la altura
de las barras representa las frecuencias absolutas.
Elaboramos el Diagrama de Barras correspondiente a la tabla de temperaturas.
20
15
TEMPERATURA
10
FRECUENCIA ABSOLUTA
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
DIAGRAMA DE LÍNEAS
Los diagramas de líneas nos muestran la tendencia de un dato a subir o bajar con el
tiempo.
Elaboremos el Diagrama de Líneas correspondiente a la tabla de temperaturas.
Días
6
5
4
FRECUENCIA ABSOLUTA
3
2
1
0
9
10
11
12
13
14
15
16
17
temperatura
DIAGRAMA CIRCULAR
Los diagramas circulares resaltan el porcentaje en que aparece una característica a
tributo respecto al total.
Representemos con un Diagrama Circular la tabla de temperaturas.
Cuando se tienen N datos y se desea hacer un Diagrama Circular, se divide 360 º entre
n, para determinar el número de grados correspondiente a cada parte; luego se coloca
el diagrama según el número de datos de cada especie, tipo o clase.
Son en total 30 días y una circunferencia tiene 360º, por lo tanto:
360º  30 = 12º
A cada día le corresponde en el Diagrama un sector circular de 10º
TEMPERATURA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
PICTOGRAMAS
Los Pictogramas representan los datos mediante un dibujo ilustrativo, en este caso, el
sol.
Representemos en el pictograma la tabla de temperaturas.
BIBLIOGRAFÍA
Ministerio de Educación Nacional. Grupo de investigación pedagógica.
Estándares Básicos de Matemáticas, Educación Básica, 2003.
Uribe Calad, Julio A: Rumbo Matemático. Susaeta ediciones, 1998.
García Ramos Juan Alberich: Matemáticas 5° educación Básica. Ed.
Universitaria de América Ltda.
Cantillo P. Lucila: Matemática Concreta 5° grado educación Básica. Ed.
Voluntad.1990.
Tomado de: BRAVO, Ana Gabriela. Desafíos Matemáticas 5. Grupo Editorial
Norma. Bogotá. 2001.
Fundación Escuela Nueva Volvamos a la Gente: Matemática 5° grado.
República Dominicana, 2006.
Ministerio de Educación Nacional, Dirección General de capacitación y
perfeccionamiento docente: Lineamientos Curriculares Matemáticas. Ed. Tener
Ltda., Bogotá, D,C. 1998
Casa buenas, Cecilia y Cifuentes de B. Virginia. Matemáticas 5°. Bogotá D.C.
CIBERGRAFÍA
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/angulos.html
http://www.vitutor.com/geo/eso/pl_6.html
i
Tomado de: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/angulos.html