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IPEP de Granada
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS MAYORES 25
Ejercicios del tema 2:Ecuaciones de primer y segundo grado.
Sistemas de ecuaciones
Dpto. de Matemáticas
Ecuaciones de primer grado
1) Resuelve
Quitamos paréntesis:
Agrupamos términos y sumamos:
Despejamos la incógnita:
2) Resuelve
Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.
Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:
Despejamos la incógnita:
3) Resuelve la ecuación
Quitamos paréntesis y simplificamos:
Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:
4) Resuelve la ecuación
5) Resuelve la ecuación
6) Resuelve la ecuación
7) Averigua las soluciones de
a) 3x  2  5x  4
b)  2 x  6  2x  9  3
Solución: a) Resolvemos la primera ecuación 3x  2  5x  4 agrupando las x en un miembro de la igualdad y
los números en el otro   2  4  5x  3x   6  2 x  x 
6
 3  La solución de la ecuación
2
3x  2  5x  4 es x  3 . Comprobémoslo, sustituyendo en la ecuación y comprobando que se cumple la
igualdad expresada: 3x  2  5x  4  3 3  2  5 3  4 Hacemos estas operaciones y obtenemos que
 9  2  15  4 efectivamente  11  11
b)  2 x  6  2x  9  3 Realizando la multiplicación  2 x  6  2 x  18  3 . Agrupamos los términos
semejantes  2 x  2 x  18  3  6  4 x  21  x 
 21 21

4
4
3x  12 x  3  x  36x  4  9 x
Solución: Para resolver la ecuación 3x  12 x  3  x  36 x  4  9 x realizamos primero las
8) Resuelve la ecuación
multiplicaciones de polinomios que aparecen la ecuación 
3x  12 x  3  6 x 2  9 x  2 x  3  6 x 2  7 x  3 Y también la multiplicación
x  36 x  4  6 x 2  4 x  18x  12  6 x 2  14 x  12  Sustituyendo en la ecuación
3x  12 x  3  x  36x  4  9 x obtenemos 6 x 2  7 x  3  6 x 2  14 x  12  9 x 
 6 x 2  7 x  3  6 x 2  14 x  12  9 x  7 x  9  9 x  9  9 x  7 x  2 x  9  x 
9
 4'5
2
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno
de estos signos:
2x − 1 < 7
< menor que
≤
>
≥
menor o igual que
2x − 1 ≤ 7
mayor que
2x − 1 > 7
mayor o igual que
2x − 1 ≥ 7
Resolución de inecuaciones de primer grado
1º
Quitar paréntesis.
2º
Quitar denominadores.
3º
Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.
4º
Efectuar las operaciones
5º
Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el
sentido de la desigualdad.
6º
Despejamos la incógnita.
Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:
De forma gráfica
Como un intervalo
Ejemplo 1:
Soluciones: (1, ∞)
Ejemplo 2:
1) Halla el conjunto de soluciones de la inecuación 3 x  2  
4  2x
3
4  2x
4  2x
hacemos la multiplicación indicada 3x  6 
y
3
3
multiplicamos por 3 ambos miembros (para quitar el denominador)  9 x  18  4  2 x De donde
22
9 x  2 x  4  18  11x  22  x 
 2  x  2  Cualquier número menor o igual que 2 es
11
Solución: Para resolver la inecuación 3 x  2  
solución de la inecuación.
Es decir que el conjunto de soluciones de la inecuación es todo número del intervalo  ,2
2) Halla el conjunto de soluciones de la inecuación  5 x  8 
Solución: Para resolver la inecuación  5 x  8 
10  5 x
3
10  5 x
hacemos la multiplicación indicada
3
10  5 x
y multiplicamos por 3 ambos miembros (para quitar el denominador) 
3
 15x  120  10  5x De donde
 130
13
 120  10  5 x  15 x  130  20 x  x 
   6'5  x  6'5  Cualquier número
20
2
 5 x  40 
menor o igual que –6'5
es solución de la inecuación.
Es decir que el conjunto de soluciones de la inecuación es todo número del intervalo  ,6'5
3) Resuelve la inecuación  3x  2  5 
x
 2x
2
x
 2 x multiplicamos por 2 ambos miembros (para
2
quitar el denominador)   6x  4  10  x  4 x De donde  4  10   x  4 x  6x  14  9 x 
Solución: Para resolver la inecuación  3x  2  5 
x

 14
14
   1'5  Cualquier número mayor que –14/9 es solución de la inecuación.
9
9
Es decir que el conjunto de soluciones de la inecuación
 14

, 
 9

es todo número del intervalo  
4) Resuelve la inecuación
x  3 2 x  6 x 3x  6

 
2
5
2
4
Solución: Para resolver la inecuación, multiplicamos ambos términos por 20 (mínimo común múltiplo de los
denominadores)


Soluciones:   ,
36 
23 
5 x  2 x  8 x  14


2
3
4
2
5 x  2 x  8 x  14


 2 multiplicamos por el mínimo común
Solución: Para resolver la inecuación
3
4
2
múltiplo de los denominadores que es 12 
 5x  2 
 x 8
 x  14 
12
  12
  12
  12·2  45x  2  3x  8  6x  14  12·2 
 3 
 4 
 2 
44
4 
20x  8  3x  24  6x  84  24  20x  3x  6x  84  24  24  8  11x  44  x 
11
5) Resuelve la inecuación
Cualquier número mayor que 4 es solución de la inecuación.
Soluciones: 4,
 3x  9
 0 y representa las soluciones sobre la recta real.
2x  8
 3x  9
 0 basta con estudiar el signo del numerador y del
Solución: Para resolver la inecuación
2x  8
6) Resuelve la inecuación
denominador y a partir de ellos, deducir el signo del cociente. Para estudiar su signo, primero calculamos
dónde se hacen cero   3x  9  0  3x  9  x 
2x  8  0  2x  8  x 
9
 3 De igual forma
3
8
 4  Dibujamos sobre la recta estos puntos y estudiamos el signo de cada
2
uno de los intervalos.
 Cualquier número menor o igual a 3 o mayor que 4 es solución de la inecuación.
Soluciones:  ,3  4,
7) Averigua las soluciones del sistema de inecuaciones
 3x  2  5 x  4

 2 x  6  x  9
Solución: Resolvemos cada una de las inecuaciones de primer grado, teniendo en cuenta que es el
mismo procedimiento que para resolver una ecuación de primer grado, salvo cuando un número está
multiplicando o dividiendo y es negativo, que al cambiarlo de término, cambia también el sentido de la
desigualdad.
 3x  2  5 x  4

 2 x  6  x  9

 4  2  5 x  3x

 9  6  x  2x

 6  2 x

 15  3x

 3  x

 5 x
Para que un número sea solución de la ecuación debe ser simultáneamente mayor que  3 y mayor
que 5. Es decir debe ser mayor que 5
Soluciones: 5,
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema donde cada ecuación es lineal, es decir que todas
las incógnitas son de grado 1. Por ejemplo: un sistema con dos incógnitas x, y de dos ecuaciones
es:
http://www.vitutor.com/ecuaciones/sistemas/sisActividades.html
Para resolver este sistema podemos utilizar distintos métodos: Sustitución, reducción e igualación.
Por sustitución:
http://www.vadenumeros.es/tercero/sistemas-de-ecuaciones.htm
¿En qué consiste el método de sustitución?
Método de reducción:
Ejemplo:
Al sustituir en la primera ecuación, obtenemos 7 + 2·1= 7 + 2 = 9 → se cumple
En la segunda 3·7 – 1 = 21 – 1 = 20 → se cumple
7+ 2·1 = 7+2 = 9 luego se cumple la primera ecuación
3·7 – 1 = 21 – 1 = 20 así que también se cumple la segunda ecuación y por tanto x = 7 y = 1 es la solución del sistema.
Método de igualación
Resuelve por igualación:
1) Resuelve el sistema lineal
 3x  2   5 y  4

4 x  3 y  2   3x  8
Solución: Para resolver el sistema de ecuaciones, realizamos primero las operaciones expresadas
 3x  2   5 y  4
 3x  6  5 y  4
 3x  5 y  4  6
3x  5 y  10
 
 
 

4 x  3 y  2   3x  8
4 x  3 y  6  3x  8
4 x  3 y  3x  8  6
 x  3y  2
Resolvemos ahora el sistema por cualquiera de los métodos (por ejemplo, por reducción, multiplicando la
 3x  5 y  10
 4 y  4  y  1 Sustituyendo
 3x  9 y  6
este valor en la segunda ecuación que obtuvimos x  3 y  2  x  3  2  x  5 Luego la solución del
segunda ecuación por –3 y sumándosela a la primera) 
sistema es
x=5 y=1
Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:
ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.
Se resuelve mediante la siguiente fórmula:
Ejemplos
1.
2.
3.
Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).
Se llama discriminante de la ecuación
ax2 + bx + c = 0
al número
b2 − 4ac
El discriminante permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres
casos:
1.
b2 − 4ac > 0
distintos.
La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales
Ejemplo
2.
b2 − 4ac = 0
Ejemplos
La ecuación tiene una solución doble.
3.
b2 − 4ac < 0
La ecuación no tiene soluciones reales.
Ejemplos
Ecuaciones de segundo grado incompletas
Se dice que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coeficientes, b o c, o
ambos, son iguales a cero.
Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas
1)
ax2 = 0
La solución es x = 0.
Ejemplos
2)
ax2 + bx = 0
Extraemos factor común x:
Como tenemos un producto igualado a cero o un factor es cero o el otro factor es cero o los dos son
cero.
Ejemplos
1.
2.
3.
ax2 + c = 0
1. En primer lugar pasamos el término c al segundo miembro cambiado de signo.
2. Pasamos el coeficiente a al 2º miembro, dividiendo.
3. Se efecúa la raí cuadrada en los dos miembros.
Ejemplos
1.
2.
Por ser el radicando negativo no tiene solución en los números reales
x 2  5x  6;
1) Resuelve
Solución: Para resolver la ecuación de segundo grado x 2  5x  6;
pasamos todos los términos a un lado,
ordenados x  5 x  6  0; Utilizamos la fórmula de las ecuaciones de segundo grado. Sabemos que la
2
 b  b 2  4ac
ecuación ax  bx  c  0; tiene por soluciones
. Como en nuestro caso a  1 , b  5 y
2a
5  25  24 5  1

Luego las soluciones de la ecuación son x=3;
c  6 obtenemos las soluciones x=
2
2
2
x=2
2 x  3  x 2  2 x  1;
x2  4x  4  0
a  1 , b  4 y c  4 obtenemos las soluciones
2) Resuelve la ecuación
2 x  3  x 2  2 x  1;
x=
4  16  16 4  0 4  0
2


2
2
2

x=2
3) Determina los coeficientes de la ecuación 3x 2  ax  b  0 para que sus soluciones sean los valores 3 y –2
Como 3 y –2 son soluciones de la ecuación dada han de satisfacerla, es decir que al sustituir por 3 y por–2 la
igualdad debe cumplirse; por tanto:
Operando, queda
se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Restando ambas ecuaciones:
4) Resuelve
x5  
6
x
Solución: Multiplicamos por x dicha ecuación x 2  5x  6;
resultante pasando todos los términos a un lado, ordenados
ecuaciones de segundo grado y obtenemos las soluciones
x=
5  25  24 5  1

;
2
2
Resolvemos la ecuación de segundo grado
x 2  5 x  6  0; Utilizamos la fórmula de las
Luego las soluciones de la ecuación son x=3; x=2