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NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR
Emisión 12/09/2008
SEDE LICEO FEMENINO
Actualización 02/12/2010
PALMIRA
GUIA No.2 SEGUNDO Y TERCER PERIODO
ESTADISTICA GRADO ONCE
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO, COMBINACIONES Y PERMUTACIONES
LOGRO: utilizar los principios de adición y multiplicación de una sucesión infinita de eventos, para
hallar el número total de resultados posibles que se pueden presentar en un suceso aleatorio.
Muchos problemas se pueden resolver contando la ocurrencia de ciertos eventos simples, los principios de
conteo de adición y multiplicación nos ayudarán a resolver problemas que involucran eventos compuestos.
En muchos experimentos aleatorios, el espacio muestral resulta numeroso y en ocasiones es muy
dispendioso escribir cada uno de sus elementos. Además en gran parte del estudio de la probabilidad
interesa el gran número de elementos del espacio muestral y no específicamente los elementos.
Por esta razón, es necesario determinar algunas herramientas o criterios que permitan encontrar el número
de elementos del espacio, teniendo en cuenta las características del experimento.
Para determinar cada uno de los criterios se usan los conceptos de población y muestra además se
determinan dos conceptos más que son el orden y la repetición en la muestra.
Analicemos los siguientes ejemplos:
a. A la final de torneo femenino intercolegiado de gimnasia clasificaron Martha, Lucia, Elena, y Karina, si se
otorgan medallas de oro, plata, y bronce, se pueden considerar dos aspectos al momento de la entrega
de medallas.
La población son las cuatro finalistas, la muestra será tres que obtiene medalla, sin embargo para la
selección es posible considerar dos aspectos:
 Para cada una de las cuatro gimnastas importa el ORDEN, ya que cada una obtendrá una medalla
diferente, luego existe el orden en el caso que la prueba no sea la final sino una prueba clasificatoria,
en la cual las dos primeras gimnastas pasarán a la siguiente ronda, no se considera el orden, ya que
aunque se logre el primero o el segundo lugar, las dos clasificaran.
 Cada una de las atletas ganará una y solo una medalla, es decir, si es primera ganará la medalla de
oro y ninguna otra, en este caso NO EXISTE REPETICIÓN
El manejo de estos dos criterios determina el buen uso de las herramientas que ayudaran a determinar el
número de elementos del espacio muestral.
Una vez se han aclarado estos dos conceptos, se pueden determinar tres tipos de técnicas de contar; el
principio de la multiplicación, las permutaciones, factoriales y combinaciones.
En cada experimento aleatorio es necesario determinar si existe el orden y la repetición, para poder
seleccionar la técnica correcta que se debe aplicar.
b.
Una familia está planeando sus vacaciones, las opciones que tiene son;
 A clima frio: Parque de los Nevados, Nevado del Cocuy, Sierra Nevada de Santa Marta
 Clima caliente: Santa Marta, San Andrés, Capurganá, Cali, Cabo dela Vea, Leticia.
Como solamente van a elegir un sitio entonces pueden elegir entre tres lugares para clima frio y seis lugares
para clima caliente, en total tienen 3 + 6 = 9 lugares para ir de vacaciones.
1
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PRINCIPIO DE ADICIÓN
Dos tareas no pueden realizarse simultáneamente y además, la primera puede realizarse en
m formas distintas, mientras que la segunda se realiza en n formas distintas, entonces la
cantidad de formas para realizarse dichas tareas es de m + n.
Ejemplos:
1.
2.
Un grupo de 6 hombres y 8 mujeres ¿de cuantas maneras se puede escoger una persona del grupo?
Se lanza una moneda 4 veces ¿de cuantas maneras distintas se pueden obtener 2, 3, o 4 caras?
PRINCIPIO GENERAL DE LA ADICION
Si es un espacio muestral se tienen m eventos incompatibles dos a dos: 𝐴1, 𝐴2,. . . 𝐴𝑚,, tales que 𝐴1, puede
ocurrir de 𝑛1, formas diferentes, 𝐴2, puede ocurrir de 𝑛2, formas diferentes. . . 𝐴𝑚, puede ocurrir de 𝑛𝑚,
formas diferentes, entonces 𝑛1, + 𝑛2, +. . . 𝑛𝑚, formas diferentes.
3.
Analicemos el siguiente ejercicio (realiza diagrama de árbol) en una heladería los helados se venden
en cono y en vaso, uno y en cada uno viene solo de los siguientes sabores, chocolate, pistacho,
vainilla, hallemos todas las posibles combinaciones de helados.
ACTIVIDAD No. 1
1. Se lanzan dos dados al aire y se suman los resultados obtenidos en las caras superiores. ¿De
cuántas formas se puede obtener múltiplo de 2? ¿De cuántas múltiplo de 3? ¿Y múltiplo de 2 y 3?
¿Y múltiplo de 2 ó 3?
2. En una academia de idiomas se imparten clases de inglés, francés y alemán. En el curso
actual, 78 alumnos estudian al menos inglés, 62 francés y 47alemán, 23 inglés y francés, 17 inglés y
alemán, 13 francés y alemán y 4 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos estudian únicamente
inglés? ¿Cuántos alumnos estudian un único idioma?
3. Una urna contiene 100 bolas numeradas de la forma: 00, 01, ... 98, 99. Se saca una bola al azar, sea
M la primera cifra y N la segunda. Determinar en cuántos casos se pueden dar las siguientes
situaciones
a.
e.
M=3
M+N=9
b. N = 4
f. M · N > 49
c. M ≠ N
g. M + N ≠ 8
d. M > N
h. M2 + N2 < 100
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Si un procedimiento se divide en m etapas (o características) y hay 𝑛1
Posibles resultados para la primera etapa, 𝑛2 posibles resultados para la segunda
etapa, . . . 𝑛𝑚
Posibles resultados para la última, entonces el procedimiento completo
puede efectuarse en el orden designado en 𝑛1 𝑥𝑛2 𝑥, . . . 𝑥𝑛𝑚 formas diferentes.
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ACTIVIDAD No. 2
Resuelve los siguientes ejercicios:
1.
Un programador de computadores está escribiendo un nuevo programa que le permite construir
aleatoriamente un número para los billetes dela lotería. Este número consta de cuatro cifras y una
serie de dos dígitos.
¿Cuántos posibles números tiene que considerar el programa para construir un número dela
lotería?
2.
Una agencia de viajes ofrece un programa turístico de tres días, para el primer día ofrece paseo por
la ciudad, o una caminata por la sabana, para el segundo día visita a museos, tours por el centro de
la ciudad o cabalgata por los alrededores del barrio colonial, para el tercer día ofrece un tour
nocturno por los bares del centro o una visita a la casa de poesía de la ciudad, el tiempo que se
requiere en cada actividad hace que el viajero pueda escoger solo una actividad por día. ¿Cuántas
opciones distintas tiene un viajero para aprovechar sus días de permanencia en la ciudad?
Ordena de todas las formas posibles las letras A, D, N
Forma todos los números posibles de tres cifras con los dígitos 2, 3 y 5
3.
4.
PERMUTACIONES
Para considerar la técnica de la permutación es necesario definir la operación factorial, el operador factorial
se define sobre los números naturales incluyendo el cero, su símbolo es
El factorial de un número se define como el producto del número con todos sus naturales
anteriores a él hasta el 1 es decir, n! = n × (n-1)(n-2). . . 2.1
5! = 5 × 4 x 3 x 2 x 1; ⇒ 5! =120
La permutación es una operación que sirve para encontrar el número de elementos del espacio muestral
cuando al seleccionar la muestra se considera el orden pero no la repetición.
Así para escoger el primer elemento de una muestra de n elementos se tienen N posibilidades, para escoger
el segundo elemento de la misma muestra se tiene n – 1 posibilidades, pues no hay repetición, para escoger
el tercer elemento de la muestra se tienen n – 2 posibilidades, y así sucesivamente.
Luego el tamaño del espacio muestral está determinado por:
#(s)=N𝑃𝑛 =
𝑛!
(𝑁−𝑛)!
Donde N es posibilidades, n, número de elementos 6𝑃4 =
6!
(6−4)!
6!
2!
= , donde N! = N(N-1)
(N-2) . . 2.1 y N 𝑃𝑛 es la permutación de N en n, en el caso que N=n, entonces la permutación n𝑃𝑛 = 𝑁!
Cuando la muestra que se toma es igual al tamaño de la población, la permutación que se obtiene es el
operador factorial de la muestra.
N𝑃𝑁 =
𝑛!
(𝑁−𝑁)!
Se define que 0! = 1
5P5 = 5!
𝒎!
𝑽𝒏𝒎 = (𝒎−𝒏)!
3
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=
𝑵!
𝟎!
=
𝑵!
𝟏
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= N!
Observa: 0!=1
2!=1x2 =2
3! = 1x2x3 =6
4! = 1x2x3x4= 24
5! = 1x2x3x4x5 = 120
ACTIVIDAD No. 3
1. Un psicólogo le pide a uno de los niños que va a evaluar, que construya un número de 3 cifras, sin
repetición de ningún digito.
a. ¿de cuantas formas se puede construir el número?
b. Si al niño de dan fichas con los números de 1 a 6, una de cada una y se le pide que conforme un
número de 3 cifras ¿de cuantas formas lo puede hacer?
2. Un grupo de 5 amigos desean sentarse en una fila de 5 asientos, y observar la lluvia de estrellas en el
planetario de la ciudad. ¡de cuantas formas distintas pueden sentarse estas personas?
3. A la semifinal del torneo suramericano de futbol clasificaron 6 equipos
a. ¿de cuantas formas se pueden obtener campeón y subcampeón?
b. Encontrar el número de elementos del evento que consiste en que Colombia no queda entre los
dos primeros.
4. En una caja hay nueve balotas numeradas del 1 al 9, iguales en color y forma( todas son rojas
esféricas del mismo radio y hechas del mismo material) determinar el número de posibilidades de
obtener al azar cuatro números de una cifra, realizando el siguiente experimento; extraer cuatro
bolas, teniendo en cuenta las siguientes condiciones:
a. Los cuatro números se obtienen extrayendo las cuatro bolas al mismo tiempo
b. Los cuatro números se obtiene extrayendo cada bola una vez y regresándola a la caja
c. Los cuatro números se obtienen extrayendo cada bola una vez, regresándola a la caja
5. ¿Cuántas maneras se pueden permutar las letras de la apalabra CATARATA?
PERMUTACIONES CIRCULARES
Es un caso articular de las permutaciones, Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo",
(por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra
determina el principio y el final de muestra .
Ejemplos: 1. Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos.: PC7= (7 − 1)! = 6! =
6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?
𝑷𝑪𝟖 = 𝑷𝟖−𝟏 = (𝟖 − 𝟏)! = 𝟓𝟎𝟒𝟎
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VARIACIONES
Se llaman variaciones de orden n de m objetos, a todas las agrupaciones de n objetos que se pueden elegir
entro los m, considerando dos, como distintas cuanto difieren en un elemento por lo menos en el orden de
colocación de ellas.
LAS VARIACIONES SIN REPETICION: de m elementos tomados de n se define como las distintas agrupaciones
formadas con n elementos distintos elegidos de entre los m elementos de los que disponemos, una variación
es distinta a otra si difieren en algún elementos o si teniendo los mismo elementos estos se sitúan en distinto
orden.
El número de variaciones que se pueden construir se calcula mediante la fórmula;
𝑉𝑚𝑛 = m(m-1)(m-2)…..(m-n+1), también podemos usar esta otra fórmula
𝑚!
𝑉𝑚𝑛 = (𝑚−𝑛)!, donde la V recuerda que estas variaciones son permutaciones de orden n
Ejemplo 1. ¿cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del
sistema decimal?
Elementos disponibles: 9 cifras, m =9.
Elementos por grupo: tres cifras, n= 3
a. ¿Influye el orden de colocación de los elementos? Sí, al tratarse de números el orden importa, pueden
ser variaciones o permutaciones
b. ¿cogemos todos los elementos disponibles? m=9 y n=3; No, sólo 3 de ellos son por tanto variaciones
c. ¿se pueden repetir los elementos? No, dice tres cifras distintas
Variaciones sin repetición de 9 elementos (m) tomados de 3 en 3 (n)
𝑚!
𝑉𝑚𝑛 = (𝑚−𝑛)! Ó 𝑉𝑚𝑛 = m(m-1)(m-2)…..(m-n+1)⇒ 𝑉93 = 9.8.7 = 504, número de tres cifras
Para usar la calculadora en variaciones sin repetición, tecla
𝑉93 ⇒ 9
3= 504
Ejemplo 2. Se va a celebrar la final de salto de longitud en un torneo de atletismo. Participan 8 atletas, ¿de
cuántas formas pueden repartirse las tres medallas: oro, plata y bronce?
Los elementos disponibles: 8 atletas, m= 8, elementos por grupos: tres medallas, n=3
a. ¿Influye el orden de colocación de los elementos? Sí, no es lo mismo recibir oro, plata o bronce.
Pueden ser variaciones o permutaciones
b. ¿cogemos todos los elementos disponibles? m=8, n=3. No, sólo 3 de ellos son por tanto variaciones
c. ¿Se pueden repetir los elementos? No un mismo atleta no puede llevarse más de una medalla.
Variaciones sin repetición de 8 elementos (m) tomados de 3 en 3 (n)
𝑉𝑚𝑛 = m(m-1)(m-2)…..(m-n+1)⇒ 𝑉83 = 8*7*6 = 336 formas.
Usando la fórmula 𝑉𝑚𝑛 =
𝑚!
(𝑚−𝑛)!
8!
⇒ 𝑉83 = (8−3)! =
8∗7∗6∗5!
5!
cancelando 5! Queda 8*7*6= 336
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TALLER DE NIVELACION SEGUNDO PERIODO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Un estudiante debe realizar 5 exámenes y puede hacerlos en 8 fechas diferentes, determine
cuantos arreglos posibles pueden suceder
Un tres de pasajeros comprende 2 vagones para equipaje, 2 vagones de primera clase y de tercera
clase, ¿de cuantas formas se pueden arreglar los vagones si los 2 de equipaje deben ir adelante y
los tres de segunda clase al final?
¿cuántas combinaciones de 5 cartas pueden hacerse de una baraja de 52 cartas?
En un equipo de baloncesto hay 10 jugadores, ¿de cuantas maneras puede formarse un equipo
compuesto de cinco jugadores?
¿De cuántas formas se pueden sentar 3 parejas de casados alrededor de una mesa circular, si no
debe haber dos mujeres juntas ni dos hombres juntos?
¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar seis alumnos en un salón de clases con 25
pupitres?
¿Cuántos números se 2 cifras sin repetición se pueden formar con los dígitos 8, 2, 5, 4, 7?
¿De cuántas formas podemos contestar un examen de 12 preguntas de opción múltiple, si cada
pregunta tiene 5 alternativas de respuesta; pero no sabemos cuál es la respuesta correcta, ¿cuál es el
número máximo de intentos que podemos realizar antes de encontrar las doce preguntas correctas?
¿Cuántos números de tres cifras con repetición se pueden formar usando todos los siguientes dígitos
7, 4, 8, 5, 3?
TALLER DE PROFUNDIZACION DE SEGUNDO PERIODO
1.
2.
3.
4.
5.
Suponga que una placa de automóvil contiene dos letras seguidas de tres dígitos, con el primer
digito diferente de cero. ¿cuántas placas diferentes pueden fabricarse (toma 27 letras)
¿cuántos números de tres cifras diferentes pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4?
¿de cuántas maneras pueden asignarse 6 obreros a 6 máquinas diferentes, si cada obrero puede
operar cualquiera de las máquinas pero cada máquina solo admite un obrero?
¿de cuántas maneras pueden caer tres monedas, lanzadas al aire?
En una maquina tragamonedas cada rueda tiene tres figuras; banano(b), manzana(M) y cereza (C)
Elabora un diagrama de árbol para determinar los posibles resultados al girar la palanca para
obtener una combinación de tres figuras, ¿Cuántos resultados obtuviste?
6.
Si tengo una camisa roja, una azul, una amarilla y dos pantalones; uno negro y otro café, realiza un
diagrama de árbol de las posibles combinaciones para vestirme.
“cuando se nos otorga la enseñanza, se debe percibir como un valioso
regalo; y no como una dura tarea, aquí está la diferencia de lo
trascendente”
Albert Einstein
6
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ESTADISTICA GRADO ONCE
TERCER PERIODO
LAS VARIACIONES CON REPETICION: Las variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n se
definen como las distintas agrupaciones formadas con n elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de
entre los m elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra, si difieren en algún
elementos como si están situados en distinto orden
𝑛
El número de variaciones que se pueden construir se calcula mediante la fórmula 𝑉𝑅𝑚
= 𝑚𝑛 ; VR se trata de
permutaciones con repetición de orden n
Ejemplo: 1. El sistema de matrículas de vehículos consiste en un número de 4 dígitos seguido de un bloque
de 3 letras consonantes (1614-MRM)
a.
¿cuántas placas hay con un determinado bloque de letras?
Disponemos de 22 consonantes, m=22, formamos grupos de tres letras, n=3
¿Influye el orden de colocación de los elementos?
Al cambiar el orden se tienen matriculas distintas, pueden ser variaciones o permutaciones.
Sólo se toman 3 de los elementos disponibles, por lo tanto es variación. Y los elementos si se pueden
repetir.
Variaciones con repetición de 22 elementos (m) tomados de 3 en 3 (n)
𝑛
3
𝑉𝑅𝑚
= 𝑚𝑛 ⇒ 𝑉𝑅22
= 223 = 10648 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎𝑠
b.
¿Cuántas placas hay con la misma parte numérica?
Disponemos de 10 dígitos, m= 10, formamos grupos de 4 dígitos n=4.
¿Influye el orden de colocación de los elementos? Sí pues al cambiar el orden tendremos matriculas
distintas.
Solo podemos tomar 4 de los elementos disponibles y ellos se pueden repetir
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𝑛
4
𝑉𝑅𝑚
= 𝑚𝑛 ⇒ 𝑉𝑅10
= 104 = 10000 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎𝑠
c.
¿cuántas placas se pueden formar con este sistema?
El número de placas que se pueden formar será el producto de las soluciones de los apartados
3
4
anteriores. 𝑉𝑅22
∗ 𝑉𝑅10
= 10648 * 10000 = 106480000 placas
COMBINACIONES
Si se quiere tomar una muestra de n elementos y no interesa ni el orden ni la
repetición, el tamaño del espacio muestral será:
𝑁!
𝑁
C ( ) = (𝑁−𝑛)!
𝑛!
𝑛
𝑁
La expresión ( ) se llama combinatoria de N en n
𝑛
La combinatoria es una operación que sirve para encontrar el número de elementos del espacio muestral,
cuando al seleccionar la muestra no se considera el orden ni la repetición.
Combinaciones sin repetición:
Ejemplo 1: calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.
C
10!
10! 10.9.8.7.6! 10.9.7
10
( ) = (10−4)!4! = 6!4! = 6!4.3.2.1 = 3.1 = 10.3.7 = 210
4
Ejemplo 2. en una clase de 35 estudiantes se quiere elegir un comité formado por tres estudiantes, ¿cuántos
comités diferentes se pueden formar?
Tengamos en cuenta que no entran todos los elementos, no importa el orden, y no se pueden repetir los
elementos.
C
35!
35
( ) = (35−3)!3! =
3
35.34.33.32!
32!3!
=
35.34.33
3.2.1
= 6545
RESULEVE: Ocho jugadores del equipo de baloncesto del curso decimo A se presentan a jugar un partido del
campeonato y el capitán debe conformar el equipo que iniciará jugando, si cada uno de los jugadores tiene
la capacidad de desenvolverse de la misma forma en cualquier posición que se ubique, ¿Cuántos equipos
distintos de 5 miembros puede conformar el capitán con los 8 jugadores?
La combinatoria es una operación que se utiliza cuando se habla de desarrollos binomiales de (𝑎 + 𝑏)𝑛
Al resolver cada una de las combinatorias se encuentra el coeficiente binomial de la n-ésima potencia de un
binomio, por ejemplo el segundo coeficiente binomial de (𝑎 + 𝑏)3 es:
3
1
C ( )=
3!
(3−1)! 1!
=
3.2.1
(2.1).1
=3
8
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Una forma de expresar el triángulo de pascal en términos de combinatoria es la siguiente:
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2ab + 𝑏 2
2
( )
0
2
( )
1
2
( )
2
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 b + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3
3
( )
0
3
( )
1
3
( )
2
3
( )
3
ACTIVIDAD 5
1.
Resuelve los siguientes productos usando el triángulo de pascal
𝑎. (x + 2y)5
𝑏. (2 − 3y)4
𝑐. (x 2 − 3y 3 )10
2.
3.
4.
5.
Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 ¿cuántos productos diferentes puedo conseguir si las tomo de 2 en
dos y cuáles son los factores?
Con los pesos de 6 alumnos de 56, 60, 62, 63, 66 y 69 kilos tomándolos de tres en tres ¿cuántas
pesadas diferentes pueden obtenerse?
¿Cómo puedes escribir de otro modo: 5x4!?
Responde, como en el ejercicio anterior a qué son iguales: 3x2!, 2x1!, 1x0!.
Combinaciones con repetición:
Son los distintos grupos formados por n elementos de manera que: No entran todos los elementos, no
importa el orden y los elementos si se repiten.
CRnm =
(m+n−1)!
n!(m−1)!
9
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Ejemplo. 1
En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro
botellas?
No entran todos los elementos. Sólo elije 4..
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
Si se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.
CR45 =
(𝟓+𝟒−𝟏)!
𝟒!(𝟓−𝟏)!
=
𝟖!
= 70
𝟒!𝟒!
Ejemplo. 2
¿De cuántas formas puedo agrupar los números 1, 2, 3, 4 y 5 constando cada uno por 3 elementos?
Se desea ver cada número formado.
35 números que son:
111 112 113 114 115 122 123 124 125 133 134 135 144 145 155 222 223 224 225 233
234 235 244 245 255 333 334 335 344 345 355 444 445 455 555
Ejemplo. 3
¿Cuántas combinaciones puedes hacer con las cifras 1, 2, 3, 4, y 5 tomadas de 3 en 3 de modo que el
número 3 se halle en todos los grupos?
Solución
Con las cinco cifras puedes hacer 10 números diferentes de 3 cifras cada uno:
Cada uno de los 10 números tiene 3 cifras lo que hacen un total de 30 cifras.
De las 30 cifras, 6 corresponderán al 1, 6 al 2, 6 al 3, etc., y esto quiere decir, que habrá:
contienen a cada una de ellas:
3,0
5
= 6 números que
123 124 125 134 135 145 234 235 245 345
Podrás comprobar 6 números contienen el 1
6 números contienen el 2
6 números contienen el 3
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6 números contienen el 4
6 números contienen el 5
ACTIVIDAD No. 6
1.
a)
2.
Desarrollar las siguientes potencias:
x  15
b)
x  a 8
1

x  
2
c) 
4
d)
2a  3b4
e)
ax  2by6
Juan, Camila, Fernando y Luisa se postularon para conformar el comité de disciplina del curso, el
director de grupo debe escoger solamente 2 de ellos.
a.
¿Cuántas parejas distintas se pueden conformar con los 4 estudiantes?
b.
¿De cuántas maneras se puede conformar el comité si el director decide que debe haber un
hombre y una mujer?
3.
¿Cuántas placas para automóvil pueden hacerse usando tres letras del abecedario (de la a la z; 27
letras) seguidas de tres números del 0 al 9?
4.
En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir 4
pasteles?
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TALLER DE NIVELACIÓN
1.
2.
3.
¿cuántas combinaciones de 5 cartas pueden hacerse de una baraja de 52 cartas?
En un equipo de baloncesto hay 10 jugadores, ¿de cuantas maneras puede formarse un equipo
compuesto de cinco jugadores?
Los billetes que una lotería emite para daca sorteo, tienen cuatro dígitos para el número principal y
dos para la serie ¿cuántos billetes emite la lotería?
4.
La facultad de ingeniería de una prestigiosa Universidad ofrece siete programas agrícola (IA), civil
(IC), eléctrica (IE), electrónica (IEL), mecánica (IM), química (IQ), de sistemas (IS), cada programa
brinda a sus graduadas especialidades de la siguiente manera: IA dos especialidades que
indicaremos con A1 y A2, tres (C1, C2 y C3, para el de la ingeniería civil, cuatro especialidades para
IE, cinco para IEL, cuatro para IM, dos para IQ y seis para IS, un estudiante que ingresa a esta
universidad de la facultad de ingeniería, debe dedicarse al final de sus tercer semestre (ciclo
básico), por uno de los siete programas ¿de cuántas maneras puede un estudiante de primer
semestre elegir en el futuro una especialidad, si se mantiene la estructura de la facultad?
5.
¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y
tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?
6.
Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen
por vocal?
7.
¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
Si no puedes volar, corre
Si no puedes correr, camina
Si no puedes caminar, gatea
Pero hagas lo que hagas
Tienes que salir adelante
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INSTITUCIÓN EDUCATIVA
NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR
SEDE LICEO FEMENINO
PALMIRA
Código FR- 17- GA
Versión: 002
Emisión 12/09/2008
Actualización 02/12/2010
TALLER DE PROFUNDIZACIÓN
1. Consulta que son números combinatorios y como se representan
2. Escriba dos ejemplos de números combinatorios
3. Enuncia las propiedades de los números combinatorios
5
5
4. Diga si ( ) y ( ) son iguales
3
2
m
m
5. Los números combinatorios ( ) y ( ) son iguales?
0
1
5
5
6. ¿Cuánto vale la suma de los números combinatorios ( ) + ( ) ?
3
2
7. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares?
¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
8. ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con cinco banderas distintas agrupándolas de tres en tres
y sin que se repita ninguna? ¿Y agrupándolas de todas las formas posibles (es decir, de una en una, de
dos en dos, etc)?
9. Halla la suma de todos los números de cinco cifras diferentes que pueden formase con las cifras 0, 1,
2, 3, 4.
10. ¿Cuántas palabras (con sentido o no) pueden formarse que tengan exactamente las mismas letras de
la palabra CASTO y que empiecen y terminen por vocal?
11. En un club de fútbol hay 23 jugadores, de los que 3 son porteros. ¿Cuántas alineaciones diferentes
puede hacer el entrenador si cualquiera de los jugadores de campo puede jugar como defensa, medio o
delantero?
12. ¿Cuántos equipos de baloncesto de 5 jugadores cada uno pueden hacerse en un club de 11
jugadores, con la condición de que los jugadores A, B y C no pueden estar simultáneamente en el mismo
equipo?
13. Calcular y escribir las permutaciones ordinarias que se pueden formarse con las vocales a, e, i, o y
comprobar que la mitad es de orden par y la otra mitad de orden impar
“La vida es un regalo de Dios, cuidemos la nuestra y la de
nuestro prójimo para tener un mundo mejor”
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