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NOTAS SOBRE MODELOS DE FRONTERAS ESTOCASTICAS
1.ESPECIFICACIONES
Las fronteras de producción estocásticas fueron propuestas originalmente por Aigner,
Lovell and Schmidt (1977) y Meeusen and van den Broeck (1977).
La especificación original: función de produccion para cross-section
Término de error con dos componentes: random + eficiecia técnica
(1)
Yi = xi + (Vi - Ui)
,i=1,...,N,
donde Yi es producción (o el log) de la iésima unidad;
xi es un vector k1 de cantidades de insumos
 es un vector de parámetros desconocidos;
Vi son variables aleatorias iid. N(0,V2), e independendientes de los
Ui que son variables aleatorias no-negativas que se supone registran la
ineficiencia técnica y son iid |N(0,U2)|.
Revisiones de la literatura pueden verse en Forsund, Lovell and Schmidt (1980),
Schmidt (1986), Bauer (1990) and Greene (1993).
Puede usarse el programa FRONTIER Version 4.1 o STATA SE para estimar
las especificaciones de Battese and Coelli (1988, 1992 and 1995) y Battese, Coelli and
Colby (1989).
1.1 Modelo 1: Battese and Coelli (1992)
Frontera estocástica para panel data (desbalanceado) con efectos por firma que se
suponen distribuidos como variables normales truncadas, y que pueden variar
sistemáticamente en el tiempo.
(2)
Yit = xit + (Vit - Uit)
,i=1,...,N, t=1,...,T,
Las variables se definen igual que en (1) adicionando la variabilidad en t.
Las Vit son aleatorias iid N(0,V2), independendientes de los
Uit = (Uiexp(-(t-T))),
Los Ui son no negativos y reflejan la ineficiencia técnica en la produccion y se
suponen iid como realizaciones truncadas en cero de una distribución N(,U2)
 es un parámetro a estimar
El panel no necesita estar completo.
De acuerdo con Battese and Corra (1977) es posible reemplazar V2 y U2 por
2=V2+U2 y =U2/(V2+U2).
El parámetro , debe estar entre 0 and 1 y esto se utiliza como valor inicial en el
proceso iterativo de maximización de la función maximoverosímil
La log-likelihood function de este modelo se presenta en Battese and Coelli (1992).
Si  es cero entonces el modelo es invariante en el tiempo Battese, Coelli and Colby
(1989).
Si se restringe a un panel balanceado el modelo es el propuesto en Battese and Coelli
(1988).
Si T=1 es el modelo original cross-section, semi-normal de Aigner, Lovell and
Schmidt (1977).
Varias elecciones pueden hacerse en la formulación dependiendo de la aplicación. Es
recomendable estimar modelos alternativos y elegir basandose en likelihood ratio
tests.
Es posible también preguntarse si es necesaria alguna forma de modelo de frontera
estocastica testeando la significación del parámetro .
Si la hipotesis nula de que  es cero se acepta, entonces U2 es cero y por lo tanto los
Uit pueden ser eliminados del modelo, dejando una especificación que puede ser
estimada consistentemente por OLS.
2
2.2 Modelo Battese and Coelli (1995)
Algunos estudios empiricos estimaron fronteras estocasticas y luego regresaron las
predicciones de los niveles de eficiencias contra variables específicas de las firmas
(experiencia, características de propiedad etc) con el fin de identificar factores que
afectan la eficiencia.
Estos procedimientos de dos etapas no proveen estimadores eficientes.
Battese and Coelli (1995) proponen el siguiente model para estimar en una sola etapa:
(3)
Yit = xit + (Vit - Uit)
,i=1,...,N, t=1,...,T,
las Vit son iid. N(0,V2), e inedependientes de los
Uit que son no negativos distribuidos como una normal truncada en cero
N(mit,U2) donde:
(4)
mit = zit,
zit es un vector p1 de variables que pueden afectar la eficiencia
 is un vector 1p vector de parámetros a estimar.
La log-likelihood function de este modelo se presenta en Battese and Coelli (1993).
1.3 Funciones de Costo1
Para especificar una función de costos se altera el término de error de (Vi - Ui) a
(Vi + Ui). :
(5)
Yi = xi + (Vi + Ui)
,i=1,...,N,
Yi es (log) del costo de producción;
xi es un vector k1 de precios de insumos y producción;
 es un vector de parámetros desconocidos;
Vi son iid N(0,V2), independendientes de los Ui que son variables no
negativas que reflejan las ineficiencias de costos en la produccion, y son iid
|N(0,U2)|.
El Ui defien cuan lejos la firma opera sobre la frontera de costos. Si se supone
eficiencia de asignación, entonces los Ui se vinculan con el costo de la ineficiencia
técnica (si no es así la interpretación es menos clara involucrando ineficiencia de
asignación y técnica).
3
1.4 Predicciones de Eficiencia
Los programas calculan predicciones a nivel de firma de la eficiencia técnica y de
costos a partir de las estimaciones de las fronteras de produccion o costos.
Las medidas de eficiencia técnica relativas a la frontera de producción y de eficiencia
de costos relativa a la frontera de costos se definen como:
(6)
EFFi = E(Yi*|Ui, Xi)/ E(Yi*|Ui=0, Xi),
donde Yi* es produccion (o costo) de la i-esima firma (igual a Yi si la variable
dependiente esta en unidades originales o exp(Yi) si la variable dependiente está en
logs).
En el caso de fronteras de producción EFFi estará entre cero y uno mientras que
tomará valor entre uno e infinito en el caso de costos.
Las medidas de eficiencia pueden definirse como:
Costo o
Variable Dep. Log
Efficiency (EFFi)
Produccion
Si
exp(-Ui)
Costo
Si
exp(Ui)
produccion
No
(xi-Ui)/(xi)
Costo
No
(xi+Ui)/(xi)
Produccion
4. ALGUNOS EJEMPLOS
1) Función de producción Cobb-Douglas con datos cross section suponiendo
una distribución semi normal.
2) Función de producción Translog datos cross-section ditribución normal
truncada.
3) Función de costos Cobb-Douglas distribución semi-normal
4) Battese and Coelli (1992) (Modelo 1).
5) Battese and Coelli (1995) (Modelo 2).
1
La discusión se hace para modelos cross section. La extensión a panel es similar al caso de funciones
de produccion.
4
Suponemos dos insumos y en cross section 60 firmas, en panel data 15 firmas y 4
períodos.
2.1 Cobb-Douglas production frontier - cross-sectional data - half-normal
distribution.
(7)
ln(Qi) = 0 + 1ln(Ki) + 2ln(Li) + (Vi - Ui),
donde Qi, Ki and Li son producto, capital y trabajo
Vi and Ui se suponen distribuidos como una normal u una semi-normal
respectivamente.
El archivo EJ_COBB DOUGLAS.TXT tiene 60 observaciones de empresas: id,
periodo, Q, K y L, en ese orden. (la col. Periodo tiene solo 1 porque es cross-section).
Para estimar (7) deben tomarse logs de Q, K y L.
insheet using "G:\ECONOMETRIA APLICADA UCEMA\EJ_COBB_DOUGLAS.TXT"
log using "G:\ECONOMETRIA APLICADA UCEMA\EJ_COBB_DOUGLAS.smcl"
gen logq=log(q)
gen logk=log(k)
gen logl=log(l)
frontier logq logk logl
predict inefi, u
predict efitec, te
5
2.2 Translog production frontier - cross-sectional data - truncated normal
distribution.
Función de producción Translog:
(8)
ln(Qi) = 0 + 1ln(Ki) + 2ln(Li) + 3ln(Ki)2 + 4ln(Li)2 + 5ln(Ki)ln(Li)
+ (Vi - Ui),
Los Ui suponemos ahora que tienen una distribución normal truncada.
Utilizamos los mismos datos del ejemplo anterior
insheet using "G:\ECONOMETRIA APLICADA UCEMA\EJ_COBB_DOUGLAS.TXT"
log using "G:\ECONOMETRIA APLICADA UCEMA\EJ_TRANSLOG.smcl"
gen logq=log(q)
gen logk=log(k)
gen logl=log(l)
gen logk2=log(k)*log(k)
gen logl2=log(l)*log(l)
gen log(l)_log(k) = log(l)*log(k)
frontier logq logk logl logk2 logl2 logk_logl, distribution(tnormal)
predict inefi, u
predict efitec, te
2.3 Frontera Cobb-Douglas de costos - cross-sectional data – half normal
distribution.
Cobb-Douglas cost frontier:
(9)
ln(Ci/Wi) = 0 + 1ln(Qi) + 2ln(Ri/Wi) + (Vi + Ui),
Donde Ci, Qi, Ri y Wi son costo, output, precio del capital y trabajo
Vi y Ui se suponen distribuidas como normal y semi normal respectivamente.
6
2.4 Battese and Coelli (1992) (Modelo 1).
Data: 15 firmas en 4 periodos
insheet using "G:\ECONOMETRIA APLICADA UCEMA\EJ_BATTESE COELLI 1.txt"
tsset id t
gen logy=log(y)
gen logx1=log(x1)
gen logx2=log(x2)
xtfrontier logy logx1 logx2, tvd
predict inefi, u
predict efitec, te
2.5 The Battese and Coelli (1995) (Modelo 2).
Ver ejemplos y programa FRONTIER 4.1 en
http://www.uq.edu.au/economics/cepa/frontier.htm
7
REFERENCIAS
Aigner, D.J., Lovell, C.A.K. and Schmidt,P. (1977), “Formulation and Estimation of
Stochastic Frontier Production Function Models”, Journal of Econometrics, 6, 2137.
Battese, G.E. and Coelli, T.J. (1988), “Prediction of Firm-Level Technical
Efficiencies
With a Generalised Frontier Production Function and Panel Data”,
Journal of
Econometrics, 38, 387-399.
Battese, G.E. and Coelli, T.J. (1992), “Frontier Production Functions, Technical
Efficiency and Panel Data: With Application to Paddy Farmers in India”, Journal
of Productivity Analysis, 3, 153-169.
Battese, G.E. and Coelli, T.J. (1993), “A Stochastic Frontier Production Function
Incorporating a Model for Technical Inefficiency Effects”, Working Papers in
Econometrics and Applied Statistics, No.69, Department of Econometrics,
University of New England, Armidale, pp.22.
Battese, G.E. and Coelli, T.J. (1995), “A Model for Technical Inefficiency Effects in a
Stochastic Frontier Production Function for Panel Data”, Empirical Economics, 20,
325-332.
Battese, G.E., Coelli, T.J. and Colby, T.C. (1989), “Estimation of Frontier Production
Functions and the Efficiencies of Indian Farms Using Panel Data From ICRISAT's
Village Level Studies”, Journal of Quantitative Economics, 5, 327-348.
Battese, G.E. and Corra, G.S. (1977), “Estimation of a Production Frontier Model:
With Application to the Pastoral Zone of Eastern Australia”, Australian Journal of
Agricultural Economics, 21, 169-179.
Bauer, P.W. (1990), “Recent Developments in the Econometric Estimation of
Frontiers”, Journal of Econometrics, 46, 39-56.
Coelli, T.J. (1992), “A Computer Program for Frontier Production Function
Estimation: FRONTIER, Version 2.0”, Economics Letters 39, 29-32.
Coelli, T.J. (1993), “Finite Sample Properties of Stochastic Frontier Estimators and
Associated Test Statistics”, Working Papers in Econometrics and Applied
Statistics, No.70, Department of Econometrics, University of New England,
Armidale.
Coelli, T.J. (1995), “Estimators and Hypothesis Tests for a Stochastic: A Monte Carlo
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Greene, W.H. (1993), “The Econometric Approach to Efficiency Analaysis”, in Fried,
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Himmelblau, D.M. (1972), Applied Non-Linear Programming, McGraw- Hill, New
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Jondrow, J.,. Lovell, C.A.K Materov, I.S. and Schmidt, P. (1982), “On estimation of
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Meeusen, W. and van den Broeck, J. (1977), “Efficiency Estimation from CobbDouglas Production Functions With Composed Error”, International Economic
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9