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SOLUCIONARIO
SGUICCO046MT11-A17V1
Técnicas combinatorias y
regla de Laplace
1
TABLA DE CORRECCIÓN
GUÍA PRÁCTICA
Técnicas combinatorias y regla de Laplace
Ítem Alternativa
Habilidad
1
B
Aplicación
2
A
Aplicación
3
B
Aplicación
4
D
Aplicación
5
E
Aplicación
6
B
Aplicación
7
C
Aplicación
8
A
ASE
9
E
Aplicación
10
C
Aplicación
11
B
Aplicación
12
A
Comprensión
13
C
Comprensión
14
A
Aplicación
15
B
Aplicación
16
A
Comprensión
17
D
Aplicación
18
B
ASE
19
E
ASE
20
C
Aplicación
21
C
Aplicación
22
B
Aplicación
23
E
Aplicación
24
B
ASE
25
A
ASE
2
1. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
Como las seis personas deben ordenarse en fila, luego importa el orden en el que se
disponga, por lo que se trata de una permutación sin repetición. Entonces
6! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720
Por lo tanto, de 720 maneras distintas pueden ordenarse 6 personas en una fila.
2. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
En la primera posición hay 3 opciones, en la segunda 2 y en la tercera 1. Luego, por
principio multiplicativo: 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
Por lo tanto, se pueden escribir 6 números distintos con los dígitos 4, 5 y 6.
3. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
El planteamiento corresponde a una selección sin orden y sin repetición, de 3 elementos
entre 7, corresponde a una combinación sin repetición. Luego, se calcula
7!
7!
7  6  5  4  3  2  1 7  6  5 210




 35
3 !  (7  3) ! 3 !  4 ! 3  2  1  4  3  2  1 3  2  1
6
Por lo tanto, la selección se puede realizar de 35 formas distintas.
3
4. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
El planteamiento corresponde a una selección con orden y sin repetición, de 3 elementos
entre 9, lo que corresponde a una variación sin repetición. Luego
9!
9 ! 9  8  7  6  5  4  3  2 1


 9  8  7  504
(9  3) ! 6 !
6  5  4  3  2 1
Por lo tanto, los tres primeros lugares pueden definirse de 504 formas distintas.
5. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
Como se deben ordenar en un círculo, 1 persona queda fija, entonces:
4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
Por lo tanto, de 24 maneras distintas se pueden ordenar 5 personas en un círculo.
6. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
El planteamiento corresponde a una selección sin orden y con repetición, de 2 elementos
entre 5, lo que corresponde a una combinación con repetición. Luego, se calcula como
(5  2  1) !
6!
6  5  4  3  2  1 6  5 30




 15
2 !  (5  1) ! 2 !  4 ! 2  1  4  3  2  1 2  1 2
Por lo tanto, la selección se puede realizar de 15 maneras distintas.
4
7. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
El planteamiento corresponde a una selección con orden y con repetición, de 3 elementos
entre 8, lo que corresponde a una variación con repetición. Luego, se calcula como
8³ = 8 · 8 · 8 = 512
Por lo tanto, hay 512 números distintos que podrían ser la clave de la caja fuerte.
8. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Azar
ASE
Una opción para resolver es agregar ficticiamente una Q y convertir el problema en una
selección con orden de tres elementos de dos tipos. Es decir, como lanzar una moneda tres
veces, considerando el orden de lanzamiento.
En ese caso, la cantidad de combinaciones distintas es 2³ = 8. Sin embargo, se debe
eliminar el caso QQQ, ya que la tercera Q se agregó artificialmente.
Por lo tanto, la cantidad de series distintas de letras se pueden obtener son 7.
(QQR, QRQ, QRR, RQQ, RQR, RRQ y RRR)
9. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
El espacio muestral (E) al elegir al azar un número natural del 1 al 20, está dado por
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}. Entonces, existen 20
casos posibles.
Sea el evento (o suceso) B: obtener un número primo. Luego B, está dado por
B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Entonces, existen 8 casos posibles para el evento B.
Entonces, P(B) =
8 2
número de casos favorables al evento B

=
20 5
número de casos posibles
5
10. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
Sea el suceso A: que sea mujer. Aplicando la regla de Laplace, se tiene
P(A) =
número de casos favorables
número de casos posibles
(Reemplazando)
2
número de casos favorables
=
5
45
45  2
= número de casos favorables
5
18 = número de casos favorables (mujer)
(Despejando)
Como son 45 alumnos, entonces hay 27 hombres.
11. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
Como hay 17 palomas blancas, entonces las 13 restantes son grises. Si se define el evento A
como “que se escape una paloma gris” y aplicando la regla de Laplace, se tiene:
P(A) =
13
número de casos favorables
=
número de casos posibles
30
12. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Comprensión
Como el evento sucede en q casos y no sucede en r casos, luego existen (q + r) casos
totales. Si se define el evento A como “que el evento suceda” y aplicando la regla de
Laplace, se tiene:
P(A) =
número de casos favorables
q
=
número de casos posibles
qr
6
13. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Comprensión
1
, entonces la probabilidad de que sea de
8
1 7
cualquier otro color es un suceso contrario, luego la probabilidad es 1   .
8 8
Como la probabilidad de sacar un lápiz negro es
14. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
El espacio muestral (E) al escoger al azar un lápiz de un estuche, está dado por
E = {r, r, r, a, a, a, a, n, n}, donde r: lápiz rojo; a: lápiz azul; n: lápiz negro.
Sea el evento (o suceso) A “extraer un lápiz NO negro”. Luego A, está dado por
A= { r, r, r, a, a, a, a}. Entonces, existen 7 lápices que no son negros.
Entonces, P(B) =
número de casos favorables al evento B 7
=
9
número de casos posibles
15. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
De un total de 9 pelotitas con letras, existen 4 que NO contienen consonantes. Se define el
evento A como “obtener una pelotita con una letra que NO sea consonante”, luego,
utilizando la regla de Laplace, se tiene:
P(A) =
4
número de casos favorables
=
9
número de casos posibles
7
16. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Comprensión
En este caso, todos los lanzamientos anteriores del dado no influyen en la probabilidad del
resultado del siguiente, pues son eventos independientes. Luego, aplicando la regla de
Laplace, se tiene sólo una opción de que salga el número 1:
P(1) =
1
número de casos favorables
=
6
número de casos posibles
17. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
Si de un total de 23 alumnos hay un niño más que la cantidad de niñas, entonces hay 12
niños y 11 niñas. Luego, aplicando la regla de Laplace, se tiene:
P(niño) =
12
Casos favorables
=
23
Casos posibles
18. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Azar
ASE
1
, es decir, son eventos equiprobables.
6
3
II) Verdadera, ya que P(impar) = P(par) = , pues hay tres números impares (1, 3 y 5) y
6
tres números pares (2, 4 y 6).
3 1
III) Falsa, ya que P(múltiplo de 2) =  , pues hay tres números que son múltiplo de 2
6 2
(2, 4 y 6).
I)
Falsa, ya que P(3) = P(5) =
Por lo tanto, solo la afirmación II es siempre verdadera.
8
19. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Azar
ASE
3
= P(Nº NO primo), pues hay tres números primos
6
(2, 3 y 5) y tres números NO primos (1, 4 y 6).
1
II) Verdadera, ya que P(cara) = = P(sello)
2
3
III) Verdadera, ya que P(divisor de 4) =
= P(NO sea divisor de 4), pues hay tres
6
divisores de 4 (1, 2 y 4) y tres números que no son divisores de 4 (3, 5 y 6).
I)
Verdadera, ya que P(Nº primo) =
Por lo tanto, en las tres afirmaciones la probabilidad de ocurrencia del suceso es igual a la
probabilidad de NO ocurrencia.
20. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
Situación inicial:
Situación final:
Azules = 11
Azules = 10
Entonces, P(extraer un bolita roja) =
Rojas = 7
Rojas = 7
Total = 18
Total = 17
7
17
21. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
Los múltiplos de tres que se consideran en la ruleta son 3, 6, 9, 12, 15, 18, siendo 6 casos
favorables dentro de los 20 posibles. Luego, aplicando la regla de Laplace, se tiene que:
P(múltiplo de tres) =
6
3
casos favorables
=

20 10
casos totales
9
22. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Azar
Aplicación
Las patas de insecto son (3 · 6) = 18
Las patas de arácnido son (2 · 8) = 16
Total de patas = (18 + 16) = 34
(casos favorables)
(casos totales)
Luego, aplicando la regla de Laplace, se tiene: P(arácnido) =
16
8

34 17
23. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
P(podrida) =
Azar
Aplicación
1
manzanas podridas

80
20
Luego, las manzanas podridas son
80
4
20
Por lo tanto, las manzanas que NO están podridas son (80 – 4) = 76
24. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Azar
ASE
(1) En la caja solo hay fichas verdes y rojas. Con esta información, no es posible
determinar la probabilidad de que al sacar una ficha, ésta sea verde, ya que no se
cuántas fichas hay de cada color.
(2) En la caja hay 20 fichas verdes. Con esta información, es posible determinar la
probabilidad de que al sacar una ficha, ésta sea verde, ya que se conoce la cantidad
total de fichas (casos posibles) y la cantidad de fichas verdes (casos favorables).
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.
10
25. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Azar
ASE
(1) La mitad de los alumnos del curso son mujeres. Con esta información, es posible
determinar la probabilidad de que al elegir un alumno al azar, éste sea hombre, ya que
la otra mitad corresponde a los alumnos del curso que son hombres.
(2) El curso tiene 40 alumnos. Con esta información, no es posible determinar la
probabilidad de que al elegir un alumno al azar, éste sea hombre, ya que no se conoce
cuántos alumnos son hombres y cuántas son mujeres.
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.
11