Download SEMANA 8 ARITMETICA

UNMSM
Aritmética
SEMANA 8
0
DIVISIBILIDAD II
1.

La suma de trece números
enteros consecutivos es de la
forma 4 a9 a . Halle el mayor de
los números.
A) 363
D) 375
B) 368
E) 374
C) 369
999(a  b)  7
a b  7.
La diferencia: 999(7)  6993
RPTA.: E
3.
Si:
0
abc  11
0
bac  7
RESOLUCIÓN
De la condición:
0
N  6  N  5  N  4  ...... 
N  ......  N  5  N  6   4a9a
cab  5
Calcule el menor valor de:
(a + b + c)
Efectuando la suma indicada:
A) 16
D) 12
13N  4 a9 a
0
B) 10
E) 14
C) 15
RESOLUCIÓN
4 a9 a  13
0
0
1  4  4  a  3 9  1(a)  13
a = 7  13 N = 4797  N = 369

El mayor número: N  6  375
0
Si un número de 4 dígitos donde
sus 3 últimas cifras son iguales se
le ha restado otro que se obtuvo
al invertir el orden de las cifras del
primero. Si la diferencia es
múltiplo de 7. Halle la diferencia.
A) 777
D) 4 662
B) 1 554
E) 6 993
RESOLUCIÓN
0
abbb  bbba  7
0
cab  5  b  5
De las ecuaciones: a + c =5

0
0
3a  c  7 3  2a  7 1
a=3
c=3

a + b + c = 3 + 5 + 2 = 10.
RPTA.: B
4.
0
Se cumple: mnp  22
0
pnm  7
C) 2 331
0
mp  9
Calcule: m x n x p
A) 72
D) 126
Descomponiendo
0
bac  7  2 b  3 a  c  7
RPTA.: D
2.
0
abc  11  a  b  c  11
B) 81
E) 162
C) 90
0
999 a  999 b  7
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
Aritmética
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
0
mnp  22  p : par;
m
ab c b a  4 95
0
n
0
0
p  11
5
0
99
(+)(-)(+)
5
0
m  n  p  11 …………………………… 1
0
b c b 5  99
1 (10) 1 (10) 1
0
pnm  7 ;
0
5  10b  c  10b  5  99
231
0
10  20b  c  9 9
0
2 p  3n  m  7 …………………………... 2
4
9
0
0
mp  9
Hay 2 números 4 9 5 .
a b c b a
0
m  p  9 ; p: par.
m  p  9 …………………………………
  
3
0 0 1
3 en 1
1 1 2
9 - n = 11
2 2 3

n=9
. . .
. . .
3 en 2
. . .
0
9 9 9
9  p  27  7
0
10  10  9  900# s.
p  36  7
p=6
0
Números que no son 4 9 5
900 - 2 = 898
m=3

RPTA.: D
m n p 
3 9  6  162
RPTA.: E
5.
9
8
¿Cuántos números capicúas de 5
cifras no son múltiplos de 495?
A) 872
D) 898
SAN MARCOS 2011
B) 890
E) 899
C) 896
6.
º
Si: 1185 a2 47 6 032 0 0 0  19!
Halle “a”
A) 4
D) 7
B) 5
E) 8
C) 6
CUESTIONARIO DESARROLLADO
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RPTA.: D
RESOLUCIÓN
0
El criterio más preciso es 9 ;
porque se analiza todas las cifras.
Tendremos
8.
0
Sabiendo que:
abcd  364(d  a  2b  3c) .
19! 9
0
1 1 8 5a2 4 7 603 2000  9
Halle la expresión:  ab  cd
0
a39
A) 50
D) 56
a=6
RPTA.: C
7.
Halle: n  x  p  si:
0
Como 364 = 7
x8 n  5 nx  25 y

0
n  5 ppxp  7
B) 16
E) 20
C) 54
RESOLUCIÓN
0
A) 15
D) 18
B) 52
E) 58
C) 17
º
abcd  7
abcd  364 d  a  2b  3c  … 1
1231
- +
0
7  d  a  2b  3c   364(d  a  2b  3c)
0
RESOLUCIÓN
0
7 363 d  a  2b  3c   (d  a  2b  3c)  7
0
x8 n  5 nx  25
d  a  2b  3c  21 en 1
abcd  364  21  7644 
0
n  5 pp x p  7
n5 1 ;n  6
Verificando:
0
Criterio: 25
0
nx  25 ; n  7
a=7
b=6
c=4
d=4
d-a+2b+3c = 4-7+12+12=21

ab + cd = 7 x 6 + 4 x 4 = 58
9.
El número de la forma: a a0 b b c
al ser dividido entre 4; 9 y 25
deja como residuo 2; 4 y 7
respectivamente. Halle “a”.
RPTA.: E
0
7x  25 ; x  5
0
2 ppxp  7
º
Criterio 7
0
2 pp5 p  7
A) 6
D) 2
31 231
- +
0
3p  15  p  6   7


0
2p  9  7
p + n + x = 18
SAN MARCOS 2011
B) 4
E) 0
C) 3
RESOLUCIÓN
M  a a0 b b c
0
4 2
M
0
CUESTIONARIO DESARROLLADO
9 4
0
25 7
UNMSM
Aritmética
ab5
M
 º

 11 3 


ab5
º
 11 3ab5
Gaus: modulo: 11
0
31  11  3
0
32  11  9
Por lo tanto:
0
0
33  11  5
0
0
4 2  80  4 82
M
º
34  11  4
0
0
35  11  1
25 7  75  2 5 82
Cada vez que la potencia de 3 es
múltiplo de 5 el residuo es 1.
Propiedad:
M  m.cm.(4;25)  82
RPTA.: D
0
M  10 0  82
11.
entonces:
A) 8
D) 7
b=8
0
aa0b b c  100 82
c=2
0
Sea: abba  99  15  a  5
2a  9 4
0
a  9 2 ; a = 2
*
Caso 1 ab  ba  99

a + b=9
9
0
8
1
7
2
6
3
4
5
3
6
2
7
1
8
Hay ocho números
RPTA.: D
Halle el residuo que se obtiene al
ab5
dividir: ab1ab 4
Entre 11.
B) 3
E) 6
C) 4
RESOLUCIÓN
0
M  a b 1 a b 4  11
*
- +- +- +
 4  a  b    a  1  b   11
0
0
11  3
SAN MARCOS 2011
C) 10
0
0
A) 2
D) 1
B) 9
E) 11
RESOLUCIÓN
aa0 8 8 2  9 4
10.
¿Cuántos capicúas de 4 cifras son
divisibles por 99 pero no por 15?

Caso 2 ab  ba  189
a9 b=9
Hay un número
Rpta. 9 números
RPTA.: B
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
12.
Aritmética
Halle el residuo de dividir
número 5678…979899 con 11.
A) 5
D) 2
B) 6
E) 4
el
C) 7
N  57  64 4  21a  64 2  57  64  21a
RESOLUCIÓN
0
0
0
0
0
N  57(7 1) 4  7 57(7 1) 4  7
5 6 7 8 9 10 11 12 … 98 99
    
0
0
= 11 99  98  ...  10  5 6 7 8 9
N  7 57  57  7 114
 99  10 
= 11 
 90  5  7  9  6  8
 2 
N  7 (7 2)  7 2
 N 7  r  2
0
0
0
0
RPTA.: B
0
= 11 109.45  7
0
= 11  6
15.
RPTA.: B
13.
es divisible por 8 y que al ser
dividido entre 11, el residuo es
10; y al ser dividido entre 9 el
residuo es 2. Halle el mayor valor
de: (a + b + c).
Halle el residuo de dividir el
número 13579…959799 con 9.
A) 6
D) 1
B) 7
E) 0
C) 3
A) 10
D) 16
RESOLUCIÓN
1 3 5 7 …. 95 97 99
0
(Criterio de divisibilidad)
0
= 9 50 2
(Suma de números impares)

2 c 4  8  8  2c  4  8
0
RPTA.: B
Halle el resto de dividir el número:
*
a53b 72 c 4  9  2  63  9  65

a53b72c4
N = (57) (21a) (57) (21a)(64)
0
0
0
a5  3b  72  c4  9 9 65
0
a5  3b  c4  7  99  99  2  198
Si c  6  b  2 ; a  9

RESOLUCIÓN
SAN MARCOS 2011
c = 2; 6
-+-+-+-+
0
0
a53b 7 2 c 4  11 10  55  11 65

C) 3
0
*
N  321aaa321aaa 4 Entre 7.
321 aaa(4)
0
421
 9 7
N = 321 aaa
0
a53b72c 4  8
0
B) 2
E) 0
C) 14
*
= 9  25
A) 1
D) 4
B) 12
E) 17
RESOLUCIÓN
 9 1  3  5  ...  99
14.
Se tiene el numeral a53b 7 2 c 4
a  b  c  17
RPTA.: E
3
4
16.
Se sabe que
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
mnpq 
mnpq 
 11 5
 66...667

 mnp00cifras
0
n
 11 4
7

RESOLUCIÓN
0
m
7
mnpq7
Aritmética

p
 66...667 


 mnp00cifras 
0
 11  2

entre 11. Si N  mnpq7
A) 5
D) 2
B) 3
E) 1
abc
 66...667

 mnp00
cifras

Calcule el residuo de dividir N




abc


abc




 66...667 
 mnp00

cifras 

 66...667

 mnp00cifras
C) 8
abc
0

 74k  1
abc
;mnp00  4


 7 

...1
abc
mnp 4

 7mnpoo  1
4
k
1
k
abc

1
abc
abc



 ...0
RPTA.: A
RESOLUCIÓN
N  mnpq 7  
18.
mnp 4 
si el número aaa.............aa9
descomponiendo:
N  mnpq 7  mnpq 7  mnpq 7

N  mnpq
4n
p
  mnpq   mnpq
m 16
7
16
 0

N   11 5 


n 4
7
A) 2
D) 8
p
7
B) 4
E) 7
RESOLUCIÓN
16 cifras
 0
 0
 0

N  11 5  11 3  11 2 




0
N  aaa...aa 9   8
0

N  11 30  11 (33  3)
0
N  11 3


Resto: 3
0
0
8  16 a  8 :
se cumple para todo “a”
a = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
a toma 8 valores
RPTA.: D
RPTA.: B
17.
Halle el residuo de dividir con 10



el número 66...667 


 mnp00 cifras 
A) 0
D) 6
SAN MARCOS 2011
C) 6
4
 º

 0

  11 4    11 2 




 0
 0
 0

N  11 516  11 44  11 2 




0
de
16 cifras es divisible entre 8?
mnp 4   16m  4n  p
16m
¿Cuántos valores puede tomar “a”
B) 1
E) 8
abc
19.
Calcule “a x b”; si 4 a056 7b 9
es divisible entre 10 y al ser
dividido entre 8 el resto es 2.
A) 4
D) 21
B) 15
E) 5
C) 35
C) 3
RESOLUCIÓN
CUESTIONARIO DESARROLLADO
UNMSM
*
Aritmética
0
4 a056 7b9  10  b  a  2  18
Reemplazando:
15a  16(2)  122
122  32 90
a

6
15
15
+-+-+- +

ba2
*
4 a0567b9  8 2  a  b  22  8 2

I
0
0
a  b  20  8  a  b  4 ó 12
Para a  b  12

RPTA.: D
b=7
a=5
ba  2
a b  35
0
RPTA.: C
20.
La distancia de A a B es:
16(6) = 90 cm
Falta: 90  16(b) = 58
0
21.
"n" cifras
¿Cuál será el residuo por exceso
que se obtiene al dividir entre 26
al menor número de 5 cifras
diferentes de la base n?
Un animalito va de “A” hacia “B”
dando saltos de 15 cm y regresa
dando saltos de 16 cm. Después
de haber recorrido 1,22 m se
detiene. ¿Cuánto le falta para
llegar al punto A?
A) 8
D) 16
A) 48 cm.
B) 42 cm.
C) 52 cm.
D) 58 cm.
E) menos de 40 cm.
15
…...
…
C) 14
41
5 cifras.
813
5
cifras
0
102345  26 r
15
Descomponiendo:
1 5 4  0  2  5 2  3  5  4  694
15a  16b  122
0
Modulo 3
694
26
674
26
18
Por defecto = 18
Por exceso = 8
0
0
0 
3  3 1b  3 2


RPTA.: A
0
k = 0 ; b = 2 (sí)
b  3k  2
k = 1 ; b = 5 (No)
SAN MARCOS 2011
33333
Menor número de
diferentes en base 5:
16 16
b  3 2
B) 12
E) 10
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
15
Si 333...  41 . Con “n” mínimo.
22.
Un niño si cuenta sus canicas
agrupándolas de 5 en 5 le faltan 2
canicas; si las cuentan de 6 en 6
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UNMSM
Aritmética
le sobran 3; y si las cuentan de 8
en 8 le faltan 5; por lo que decidió
agruparlos de 9 en 9, así no le
sobra ninguna canica. Si la
cantidad de canicas se encuentra
entre 400 y 650. ¿Cuántas canicas
tiene el niño?
0
abc   a  b  c   13
431
0
 + 5a  4b  13
a=9
b=5
c=9

A) 438
D) 485
B) 480
E) 603
C) 483
a  b  c  9  23
RPTA.: D
24.
RESOLUCIÓN
Sea “N” la cantidad de canicas que
tiene el niño:
0
¿Cuántos números de dos cifras
hay, que al elevarse al cuadrado y
al ser divididos entre cinco dejan
resto cuatro?
A) 18
D) 45
5 3
0
N  6 3
B) 48
E) 36
C) 32
RESOLUCIÓN
0
8 3
0
0
N  MCM (5;6;8) 3  120 3
ab 
0
2
0
0
Pero: N  9
 400  N  650
 El niño tiene 603 canicas.
RPTA.: C
¿Cuál es la suma de las cifras del
mayor número entero de tres
cifras, tal que si se le resta la
suma de sus tres cifras el
resultado es divisible por 13?
B) 20
E) 24
0
 51
0
5 2
N  123; 243; 363; 483; 603........
A) 26
D) 23
5
ab  5  1
Entonces:
23.
0
5
0

ab 

0
ab  5 2
5 4
ó
0
ab  5 2
12; 17; 22; 27; ……..; 97
18 valores
13; 18; 23; 28; ……..; 98
18 valores
Existen36números
RPTA.: E
C) 15
RESOLUCIÓN
SAN MARCOS 2011
CUESTIONARIO DESARROLLADO