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UNIVERSIDAD DE CUENCA
FACULTAD DE FILOSOFÍA
INTRODUCCIÓN
He realizado este trabajo para tratar de ayudar de alguna manera a que
se mejore y se vaya innovando el sistema educativo, ya que en nuestra
educación hay muchas deficiencias, sobre todo en el área de la
Geometría Plana donde las limitantes técnicas y tecnológicas nos han
conducido a resultados poco satisfactorios.
La introducción de la informática ha cambiado y mejorado nuestro
sistema educativo. Alrededor de todo el mundo vemos un gran
impacto de la informática en casi todas las actividades humanas,
aunque en la educación recién se esta utilizando la informática como
una herramienta base, especialmente en la matemática.
El adelanto de un país se logra optimizando los niveles educativos y
en la calidad que estos posean, sobre todo en ciertas áreas del
conocimiento como son las ciencias exactas y en particular la
Geometría Plana.
Los problemas y dificultades en el proceso de enseñanza – aprendizaje
de esta ciencia radican en que debido a las características propias de la
materia, su comprensión depende principalmente de la creatividad,
interés, gusto y sobre todo la ejercitación que los alumnos hagan como
actividad práctica, pero ¿cómo despertar en los alumnos tal interés?
Es aquí donde los maestros tropezamos con barreras aparentemente
difíciles de vencer.
La didáctica es una disciplina pedagógica que investiga y elabora los
principios más generales de la enseñanza, por lo tanto la metodología
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
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GEOMETRIA PLANA
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de la enseñanza de la computación estudia como proceder en la
transmisión y elaboración del conocimiento computacional y el
desarrollo de las habilidades informáticas.
La introducción de la computación en el proceso docente educativo es
para contribuir al perfeccionamiento y optimización del sistema
educacional y dar respuesta a las necesidades de la sociedad en este
campo, ya que determina modificaciones en las formas tradicionales
de enseñar al ser la computadora un eslabón entre el profesor y el
estudiante. Por lo tanto en la formación del profesor tiene un peso
fundamental la utilización de la computadora para elevar el nivel de
aprendizaje de los estudiantes. Es responsabilidad del profesor
planificar cómo, cuando y para que se utiliza la computadora, es
necesario que quede claro que se necesita de un serio trabajo para
decidir como utilizarla para que realmente cumpla su papel a partir de
las posibilidades que brinda y que se puede constatar a través del huso
educativo. La misma que debe servir para ilustrar los contenidos
nuevos y para el desarrollo de las habilidades informáticas.
El educador debe utilizar métodos nuevos que favorezcan la creación
de relaciones adecuadas entre los conocimientos previos y los nuevos,
es importante transformar el huso del computador en el aula en una
experiencia de tipo significativa, en una herramienta mental que
estimule el trabajo crítico y creativo que promueva la colaboración
para compartir ideas y construir bases de conocimiento compartido.
Por lo expuesto anteriormente, he buscado nuevas alternativas y he
elaborado esta tesis, como propuesta para los docentes que ejercen
actualmente su profesión tanto como para los futuros maestros.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
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GEOMETRIA PLANA
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Esta tesis queda como alternativa no solo para los docentes si no
también para los estudiantes y público en general que tengan alguna
relación o afinidad con la Geometría Plana, para que con este trabajo
refuercen sus clases y conocimientos. Para que este software les
ayude para profundizar y entender de la mejor manera, ya que este
software nos ayudara para que las clases sean más interesantes y más
dinámicas.
CAPITULO 1
RECOMENDACIONES GENERALES PARA MANEJAR EL
PRESENTE TRABAJO
El trabajo en sí comprende el texto guía, complementado con un CD
que contiene las animaciones y demostraciones en donde la teoría se
desarrolla detalladamente en el texto, de esta forma se logra convertir
a la animación en un profesor virtual que complementa el proceso de
aprendizaje.
El texto en sí consta de cinco capítulos plenamente definidos y con su
respectivo titulo:
CAPITULO 1:
Introducción y recomendaciones.
CAPITULO 2:
Principales elementos de la Geometría Plana.
CAPITULO 3: Triángulos.
CAPITULO 4: Cuadriláteros.
CAPITULO 5: Principales Teoremas de Geometría Plana.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
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GEOMETRIA PLANA
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En el capitulo 1 encontramos las recomendaciones generales de la
utilización de las animaciones.
En el capitulo 2 se detallan los principales elementos de la Geometría
Plana.
En el capitulo 3 encontramos todo lo referente a los diversos tipos de
triángulos que existen.
En el
capitulo 4
tenemos
las principales características y los
elementos de los cuadriláteros.
En el
capitulo 5
se
desarrollan los teoremas más básicos y
elementales de Geometría Plana.
Al revisar el texto y en algunos literales encontraremos los siguientes
iconos:
Estos
nos indicaran que en el CD encontraremos la respectiva
animación en la forma que indicamos a continuación:
El literal correspondiente tiene una animación (construcción de
figuras).
El literal correspondiente tiene un pequeño video relacionado
con el capitulo.
El literal correspondiente tiene una demostración (Teorema).
El literal correspondiente tiene una demostración de ejercicios
resueltos.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
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GEOMETRIA PLANA
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RECOMENDACIONES GENERALES
Se ha diseñado las animaciones de tal manera que el fondo negro
corresponde para la construcción de figuras como nos indica el icono
y están diseñadas de forma que hay que dar un clic inicial en el botón
y la animación llegara hasta el final de la presentación si
detenerse.
Las demostraciones de teoremas y demostraciones de fórmulas tienen
el fondo celeste y están diseñadas con pausa automática para que el
estudiante tenga la posibilidad de entender de la mejor manera y para
continuar la presentación solo tendrá que dar un clic en el botón
y la animación avanzara hasta detenerse, cabe recalcar que en
este tipo de presentaciones la animación se detendrá un numero
determinados de veces hasta llegar al final de la presentación.
Tenemos el fondo verde para las demostraciones de ejercicios
resueltos y están diseñadas de la misma manera que las
demostraciones de teoremas es decir tienen pausa automática.
Todas las animaciones y demostraciones del CD fueron diseñadas en
el programa MACROMEDIA FLASH 8 y en el MACROMEDIA
FLASH 9.
MACROMEDIA FLASH es un programa parecido al POWER
POINT con características similares al momento de la presentación
con la única diferencia que en el FLASH tenemos movimiento y
además botones para retroceder, avanzar, hacer pausa.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
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Se podría decir que FLASH es un
POWER POINT avanzado y
mejorado.
Además es un programa nuevo, novedoso e interesante y es una
poderosa herramienta dentro de la rama de diseño grafico, con este
programa podemos dar movimiento a caricaturas, presentaciones de
video, demostraciones de ejercicios, animaciones de textos, etc.
Y últimamente se lo esta utilizando en la educación particularmente
en la rama de la Matemática, es de gran ayuda como medio
audiovisual y nos brinda una excelente alternativa y una gran
oportunidad para aplicar la tecnología en el campo educativo.
Al ingresar el CD en un CPU este se abre solo llevándonos
directamente a la carátula del trabajo, para continuar damos un clic en
el botón ENTRAR y nos vamos directamente al menú en donde
encontramos cuatro capítulos cada uno detallado con su respectivo
nombre y el video correspondiente, si queremos ingresar a las
animaciones de uno de los capítulos tendremos que dar un clic en el
nombre o si queremos apreciar el video damos un clic en el botón
VIDEO del capitulo que vamos a revisar y nos llevara directamente a
la elección pedida.
En todas las animaciones y demostraciones encontramos los siguientes
botones:
Estos botones se encuentran ubicados en la parte inferior de cada
animación.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
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Al dar un Clic en el botón
la animación empezara a correr.
la animación se detendrá.
Al dar un Clic en el botón
Al dar un Clic en el botón
la animación regresara al
fotograma anterior.
Cuando
una
animación
esta compuesta por varias escenas
encontramos los siguientes botones:
Al dar un Clic en el botón
nos lleva directamente a la
escena anterior, este botón se encuentra en la parte inferior izquierda
de la presentación.
Al dar un Clic en el botón
nos lleva directamente a la
siguiente escena, este botón se encuentra en a parte inferior derecha
de la presentación.
Al inicio de cada capitulo y a partir del CAPITULO 2 tenemos un
pequeño video que hace referencia a algunos conceptos que
encontramos en el texto y dentro de cada capitulo, para indicar que
tenemos video utilizamos el siguiente icono.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
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GEOMETRIA PLANA
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CAPITULO 2.- PRINCIPALES ELEMENTOS DE GEOMETRÍA
PLANA.
Tenemos los elementos fundamentales con los que se empieza a
estructurar la Geometría como son: el punto, la línea, tipos de líneas,
ángulos, operaciones con ángulos etc. Desde este capitulo se empieza
a desarrollar la geometría de una manera progresiva partiendo desde lo
más elemental hasta lo complicado.
A este capitulo le corresponden 19 presentaciones las cuales están
ordenadas en forma sistemática en el CD que acompaña al texto.
A partir de este capitulo encontraremos al final de los mismos
ejercicios resueltos y ejercicios propuestos para que el alumno se guíe,
refresque los conocimientos y ponga en practica todo lo aprendido.
CAPITULO 3.-
TRIANGULOS
En este capitulo hacemos un estudio muy detallado a todas las clases
de triángulos que conocemos encontramos las características,
sus
elementos, rectas notables, perímetro, área, suma de los ángulos
interiores y exteriores.
En el CD para este capitulo encontramos 9 presentaciones y las
tenemos debidamente numeradas y ordenadas.
CAPITULO 4.-
CUADRILATEROS
Continuando con el estudio de la Geometría
Plana tenemos los
cuadriláteros sus características, clases, elementos, semejanza
igualdad de cuadriláteros.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
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GEOMETRIA PLANA
e
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En este capitulo y a manera de introducción de lo que será el capitulo
5 encontramos 5 teoremas numerados.
A este capitulo le corresponden 9 presentaciones las mismas que
están guardadas en el CD que acompaña al texto.
CAPITULO 5.-
TEOREMAS
BASICOS
DE
GEOMETRIA
PLANA
Para finalizar el estudio de la Geometría Plana llegamos al capitulo
5 aquí encontramos 24 teoremas básicos cada uno con su respectiva
demostración y desarrollados en su totalidad y con todos los
procedimientos necesarios para que el alumno pueda receptar de la
mejor manera los conocimientos impartidos.
En el CD encontramos 9 presentaciones correspondientes a este
capitulo con su respectiva numeración y su respectivo titulo de igual
manera al texto.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
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GEOMETRIA PLANA
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Capitulo 2
GEOMETRIA PLANA
2.1
DEFINICION.- Es la ciencia que estudia las figuras planas
desde el punto de vista de su forma, extensión y las relaciones que
hay entre ellas. La Geometría Plana es la geometría de dos
dimensiones.
2.1.1
SÓLIDO GEOMETRICO.- Es una combinación de puntos,
líneas y superficies, formado bajo condiciones determinadas, es
un espacio limitado cualquiera.
A
B
C
D
E
F
G
H
2.2 ELEMENTOS NO DEFINIDOS DE LA GEOMETRÍA.- Se
los llama así porque no existen en realidad y para su estudio se
utilizan descripciones intuitivas para darles significado.
2.2.1
EL PUNTO.- Es la célula, base e inicio de la Geometría.
Afirmamos esto porque toda figura geométrica esta formada por una
cadena infinita de puntos. Sin el punto las figuras geométricas no
existirían. Se lo representa con una ligera marca. ( . ). Siempre se lo
designa con una letra mayúscula junto a El. ( . R )
2.2.2 LÍNEA.- Es el resultado de unir dos o más puntos
consecutivos. Es el límite de una superficie. La línea posee una sola
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dimensión, longitud. Se la designa con dos letras mayúsculas en sus
extremos o con una letra minúscula en su parte media.
2.2.3 PLANOS.- Son las caras que limitan los sólidos. Carecen de
espesor. Un plano tiene solamente longitud y anchura.
Se lo
representa con una figura plana, se lo designa con una letra mayúscula
en cada vértice.
A
B
C
D
2.2.4 GENERACIÓN DE FIGURAS GEOMETRICAS.a) Una línea se genera por el movimiento de un punto.
A …………………
B
b) Una superficie se genera al arrastrar (mover) una línea.
A
B
C
C’
D
A`
B`
La línea AB al ser
arrastrada genera el
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D’
La línea CD al ser
arrastrada genera el
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c) Un sólido se genera por el movimiento de un plano o superficie,
a excepción de la prolongación de dicho plano.
A
B
C
D
B’
A’
C’
D’
El plano ABCD al ser arrastrado genera el sólido ACA’C’BDB’C’.
2.3
FIGURAS IGUALES, SEMEJANTES Y EQUIVALENTES.
a) FIGURAS IGUALES.- Dos o más figuras son iguales cuando
tienen igual forma e igual tamaño, es decir se las puede hacer
coincidir en todos sus puntos. Ejemplos:
A
B
C
2,5 cm
D
2,5 cm
A
A’
B
C
C’
B’
b) FIGURAS SEMEJANTES.- Dos o más figuras son semejantes
cuando tienen igual forma pero distinto tamaño.
Ejemplos:
E
A
F
B
C
D
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G
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H
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A
R
B
C
S
T
D
U
c) FIGURAS EQUIVALENTES.-
Dos o más figuras son
equivalentes cuando tienen la misma área, pero distinta forma.
Ejemplos:
E
A
4u
B
1u
C
F
2u
D
G
2u
H
En las figuras el rectángulo y el cuadrado
tienen
4u 2
de
superficie, tienen distinta forma pero igual magnitud, por lo
tanto son equivalentes.
2.4
CLASES DE LINEAS.- Para estudiar las clases de líneas
citaremos las más utilizadas y por lo tanto más conocidas; líneas
curvas,
quebradas
y
mixtas.
a) LINEA CURVA.- Es la línea que no tiene partes rectas.
Si los extremos de una curva coinciden esta se llama curva
cerrada.
.
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.
b) LINEA QUEBRADA.- Es aquella que esta formada de dos o
más segmentos de recta.
A
C
E
B
D
A
G
F
B
E
C
F
D
c) LINEA MIXTA.- Es aquella que esta formada por
segmentos rectilíneos y curvilíneos.
A
B
C
D
2.5
RECTAS, SEMIRRECTAS Y SEGMENTOS DE
RECTA.
a) LINEA RECTA.- Es toda línea que al colocarla de cualquier
modo sobre otra, las dos coinciden en todos sus puntos. No tiene
inicio ni fin.
X
Y
b) SEMIRRECTA.- Es una parte de la línea recta y comprende
un punto llamado origen y se dirige hacia el infinito.
A
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c) SEGMENTO DE RECTA.- Es una pequeña parte de la línea
recta y esta comprendida entre dos puntos. Una línea recta esta
formada por infinitos segmentos de recta.
A
2.6
B
OPERACIONES CON SEGMENTOS DE RECTA.
2.6.1 SUMA DE DOS O MAS SEGMENTOS DE RECTA.Tenemos los segmentos
AB, CD y EF.
Para sumar estos
segmentos dibujamos la semirrecta OX, luego colocamos sobre
la semirrecta los segmentos anteriores de tal manera que el
origen del primero A caiga sobre O, luego el origen del segundo
C coincida con B y finalmente el origen del tercero E coincida
con D. El segmento suma será AF.
A
B
C
D
AB + CD + EF
2.6.2
E
=
F
AF
RESTA O DIFERENCIA DE DOS SEGMENTOS.- Para
restar dos segmentos se debe tomar en cuenta que el minuendo sea
siempre mayor o igual al sustraendo, caso contrario la resta no seria
posible.
Restar el segmento CD de AB, dibujamos inicialmente la recta OX y
sobre ella colocamos el segmento AB de tal manera que el origen O
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coincida con A, luego colocamos el segundo segmento CD de tal
manera que B y D coincidan, entonces el segmento diferencia será
AC.
AB ≥ CD
A
B
C
D
AB − CD = AC
2.6.3
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.- Se
dibuja una semirrecta OX y a partir del origen O se dibujan tantos
segmentos AB como indique el escalar.
A
B
AB · n = nAB
n = 4
2. 7 POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS RECTAS.
Dos rectas pueden ser paralelas, perpendiculares, cortarse en un punto
o coincidir.
2.7.1 PARALELAS.- Son las rectas que están en un mismo plano y
jamás se encuentran por más que se las prolongue y guardan siempre
una misma distancia entre sí.
A
B
C
D
E
G
F
H
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2.7.2 SECANTES.- Se las llama a las rectas que se cortan en
cualquier punto.
2.7.3 PERPENDICULARES.- Son las rectas que se cortan
formando ángulos adyacentes iguales de
90 0 .
2.7.4 SUPERPUESTAS.- Si dos rectas tienen dos puntos comunes
coincidirán una con otra en una sola recta.
A
B
C
D
2.8 ANGULOS.
Es la abertura comprendida entre dos rectas que se encuentran o dos
rectas que salen desde un mismo punto con distintas direcciones. A
este punto de intersección se lo llama vértice. Para simplificar la
escritura remplazaremos la palabra ángulo por el símbolo. (〈 )
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
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Existen algunas maneras de nombrar un ángulo, las cuales citamos a
continuación:
a)
Se puede nombrar con tres letras mayúsculas en orden sucesivo,
dejando siempre la letra correspondiente al vértice en el centro.
b) También se puede nombrar un ángulo con una letra mayúscula
junto al vértice. En este caso es conveniente señalar la abertura
con un semicírculo
para indicar
el ángulo que hacemos
referencia.
<O
<P
c) Otra manera de nombrar un ángulo es ubicando una letra
minúscula dentro de la
abertura y junto al semicírculo que
indica el ángulo al que hacemos referencia.
<m
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
<n
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2.8.1 CLASES DE ANGULOS.- Para nuestro estudio citaremos las
más elementales como son:
a) ANGULOS AGUDOS.- Son aquellos que miden desde 0 hasta
menos de
90 o .
0 < X < 90 0
b) ANGULOS RECTOS.- Son aquellos que miden
90 0 .
X = 90 0
c) ANGULOS OBTUSOS.- Son aquellos que miden más de
hasta menos de 180 0 .
90 0 < X < 180 0
2.9
RELACIONES ENTRE DOS ANGULOS.
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90 0
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La magnitud de un ángulo esta determinada por la abertura de sus
lados y más no por la longitud de estos. Por su relación los ángulos se
clasifican
en:
ángulos
iguales,
ángulos
adyacentes,
ángulos
complementarios, ángulos suplementarios, ángulos conjugados y
ángulos opuestos por el vértice.
2.9.1 ANGULOS IGUALES.- Dos ángulos son iguales cuando al
superponer el uno encima del otro coinciden en el vértice y la abertura
de sus lados.
B
2.9.2
C
< B =< C
ANGULOS ADYACENTES.- Son aquellos que tienen el
mismo vértice y un lado común y siempre son exteriores el uno con el
otro. Tienen un vértice y un lado común.
2.9.3
ANGULOS COMPLEMENTARIOS.- Son dos ángulos
adyacentes que sumados miden
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
20
90 0 .
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< a + < b = 90º
2.9.4
< c + < d = 90º
ANGULOS SUPLEMENTARIOS.-
adyacentes que
sumados miden
180 0
Son dos ángulos
.
< r + < s = 180 0
< t + < u = 180 0
2.9.5 ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE.- Se les llama
así a aquellos ángulos que al prolongar sus lados en el vértice o
intersección se generan al otro lado del vértice. Los ángulos
opuestos por el vértice siempre son iguales.
<a = <b
<r = <s
<c =<d
<u = <t
2.9.6 ÁNGULOS CONJUGADOS.- Son aquellos ángulos que
sumados nos dan 360º.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
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< X + < Y = 360º
2.10
< R + < S = 360º
OPERACIONES CON ANGULOS
Estudiaremos las más elementales como son la suma y la resta. Para
las operaciones entre ángulos debemos tomar en cuenta el sentido del
ángulo.
Se le considera positivo a un ángulo cuando gira o se abre en sentido
contrario a las manecillas del reloj (antihorario), y negativo cuando el
ángulo gira o se abre en el mismo sentido de las manecillas del reloj
(horario).
Se debe tomar en cuenta que para poder realizar la suma o resta dos
ángulos, estos deben ser siempre consecutivos.
2.10.1
SUMA DE ANGULOS.- Para la suma de dos o más
ángulos se toma en cuenta el lado inicial del primer ángulo y el
lado final del segundo ángulo y se suma normalmente los dos o
tres ángulos depende el número de ángulos que tengamos.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
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< AOB + < BOC + < COD + < DOE =< AOE
2.10.2 DIFERENCIA ENTRE DOS ANGULOS.- Para la resta de
dos ángulos se toma en cuenta el ángulo que nos queda entre el lado
inicial del primer ángulo y el lado inicial del segundo ángulo.
< AOC − < BOC =< AOB
< COA− < BOA =< BOC
2.11 ANGULOS FORMADOS POR UNA TRANSVERSAL
X
b
c
A
B
a
d
D
f
C
e
g
h
Y
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Si una secante XY corta a dos rectas AB y CD, los ángulos que
implicados toman los siguientes nombres.
<a
<b
<d
<c
< f
Ángulos Internos:
<g
<h
Ángulos Externos:
<e
Ahora tomados por parejas dichos ángulos se los llama:
Alternos Internos.
<d
<a
y
y
Alternos Externos.
< f
<g
<b
<c
y
y
<h
<e
X
b c
a d
A
B
D
f
g
h
e
C
Y también se los conoce tomados de dos en dos como:
Ángulos Correspondientes:
<b
<c
<e
y < f
y <g
y <a
<h
y <d
2.12 MEDIDA DE UN ANGULO
La unidad de medida es el grado, que es equivalente a 60
minutos; y el minuto es equivalente a 60 segundos.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
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GEOMETRIA PLANA
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Al grado se lo representa con un pequeño círculo en la parte
superior derecha del número. El grado es una magnitud escalar.
Al minuto se lo representa con una comilla y al segundo con dos
comillas escritas en la parte superior derecha del número.
Cabe recalcar que estas unidades pertenecen al sistema
sexagesimal. A continuación tenemos unos ejemplos de escritura
y lectura de cantidades que contengan los anteriormente
indicados.
25º 07 ' 32 ' '
dos
= Veinte y cinco grados, siete minutos, treinta y
segundos.
43 º 27 '15 ' '
= Cuarenta y tres grados, veinte y siete minutos,
quince segundos.
12 º 03 ' 22 ' '
=
Doce grados, tres minutos, veinte y dos
segundos.
En la Geometría Plana las igualdades y desigualdades tienen una
gran utilidad, por esa manera a continuación citaremos algunas
de las principales propiedades de estas.
2.13
2.13.1
PROPIEDADES
DE
LAS
IGUALDADES
Si a cantidades iguales se suman o se restan cantidades
iguales los resultados son iguales.
2.13.2
x = x
y = y
x+b= x+b
y–a = y-a
x+2= x+2
y–5 = y–5
Si a cantidades iguales se multiplican a se dividen por
cantidades iguales, los resultados son iguales.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
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x = x
y = y
x·a = x·a
y/b = y/b
x·3 = x·3
y/5 = y/5
3x = 3x
2.13.3
Si a cantidades iguales se eleva a una misma potencia o se
extrae una misma raíz los resultados son iguales.
x=x
x=x
xn = xn
n
x =n x
x3 = x3
7
x =7 x
2.14 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
2.14.1
Si en los dos miembros de una desigualdad se realiza una
misma operación con iguales números positivos, el sentido de la
desigualdad no varia.
a
> b
a+c > b+c
a – c < b -c
a+5 > b+5
a -7
< b–7
x > y
x < y
x·a > y·a
x/a < y/a
x·5 > y·5
x/3 < y/3
5x >
2.14.2
a < b
5y
Si se suman dos desigualdades de un mismo sentido, los
resultados son desiguales en el mismo sentido.
a > b
+
a < b
c > d
+
a + c > b + d
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c < d
a + c < b + d
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2.14.3
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Si los dos miembros de una desigualdad se restan de una
igualdad los resultados son desiguales en sentido contrario al de
la desigualdad dada.
a = a
x = x
b > c
b < c
a - b < a - c
2.14.4
x - b > x - c
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o se
dividen por un número negativo, los resultados son desiguales en
sentido contrario al de la desigualdad dada.
a > b
a < b
a(-c) < b(-c)
a / (-c) > b / (-c)
-ac<-bc
-a/c >-b/c
2.15 SEGMENTOS PROPORCIONALES
Para estudiar los segmentos proporcionales utilizaremos las siguientes
definiciones como son: la razón, proporción, términos, representación
y la proporción continua.
2.15.1
RAZON DE DOS SEGMENTOS.- Es el cociente de sus
medidas en relación a una misma unidad.
Ejemplos:
A
B
1) AB = 15 cm
CD = 5 cm
C
A
R=
D
1
C
2
D
3
B
AB 15cm
=
=3
CD 5cm
C
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
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D
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O
P
2) OP = 16 u
QR = 4 u
Q
O
Q
1
R
2
Q
R
R
P
3
Q
4
R
R=
OP 16 u
=
=4
QR 4 u
En el primer ejemplo la razón es 3, y en el segundo ejemplo la razón
es 4. Cabe recalcar que la razón carece de unidad, es siempre solo una
magnitud.
Se la puede entender a la razón como el número de veces que contiene
el numerador al denominador.
2.15.2
SEGMENTOS PROPORCIONALES.- Dos segmentos
rectilíneos son proporcionales a otros dos cuando lo son sus
valores numéricos.
AB = 4m y CD = 6m
A
4m
B
C
6m
D
EF = 8m y GH = 12m
E
8m
G
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
F
12m
H
28
GEOMETRIA PLANA
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FACULTAD DE FILOSOFÍA
Con estos cuatro segmentos se puede armar la siguiente proporción.
AB
CD
=
EF
GH
4
8
=
6
12
4 : 6 :: 8 : 12
2.16
TEOREMA
FUNDAMENTAL
PROPORCIONALIDAD
EN
DE
LA
LOS TRIANGULOS.
Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca en puntos
distintos a los otros dos lados, entonces determina sobre
esos
segmentos que son proporcionales a dichos lados.
En el
∆ ABC ,
sean D y E puntos de AB y AC tales que DE
BC.
Entonces tenemos que:
AB
AD
AB
BD
A
O también:
D
AC
AE
=
=
AC
EC
E
B
C
2.16.1 REPRESENTACION.- Una proporción se puede escribir de
algunas maneras y para nuestro estudio citaremos las mas conocidas y
mas utilizadas.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
29
GEOMETRIA PLANA
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FACULTAD DE FILOSOFÍA
Ejemplos:
B
a
c
F
d
b
C
1)
A
a
d
e
f
E
D
c
e
=
Se lee a sobre d es igual a c sobre e.
1) a : d : : c : e
a : d = c : e
Para estos dos casos se lee a es a d como c es a e.
2)
AB
RS
BC
ST
=
A
c
b
R
s
t
B
a
c
t
=
C
a
r
S
r
T
o también.
c : t : : a:r
3)
EG
OQ
=
E
G
EF
OP
F
H
O
P
Q
R
EG : OQ : : EF : OP
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
30
GEOMETRIA PLANA
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FACULTAD DE FILOSOFÍA
2.16.2 TERMINOS.- Se les llama a todos los números o cantidades
que intervienen en la proporción sin importar el orden y lugar que
ocupen.
Dichos términos tienen nombres específicos como lo indicamos a
continuación.
antecedentes
a
:
b
: :
:
c
d
consecuentes
medios
a
2.16.3
:
b
: :
c
extremos
:
d
PROPORCION CONTINUA.- Es aquella en la que los
medios son iguales, es decir tienen el mismo valor.
a : b :: b : c
x : y :: y : z
Para resolver una proporción se aplican algunas propiedades y
operaciones fundamentales del álgebra.
Ejemplo:
a : b :: c : d
Encontrar el valor de a en la proporción anterior siendo b, c y d
cualquier número natural que satisfaga las condiciones de la
proporción dada.
a
c
=
b d
Utilizando despeje de formulas, despejamos la a. Tenemos a
dividiendo, pasara al segundo miembro multiplicando.
a=
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
c
b
d
31
GEOMETRIA PLANA
b
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Entonces nos quedara la respuesta pedida inicialmente.
En toda proporción siempre el producto de los medios es igual al
producto de los extremos.
A continuación indicamos
algunos
ejercicios
resueltos
sobre
razones y proporciones.
r
t
=
s
u
1)
r
:s::t :
r.u = s.t
u
a
c
=
b
d
2)
a
:
b
::c:
d
a.d = b.c
2.17 EJERCICIOS RESUELTOS
1) Encontrar el valor de X en la siguiente proporción.
5 : X : : 10 : 8
5 10
=
8
X
5=
5.8 = X .10
10
X
8
40 = 10. X
5.8
=X
10
40
=X
10
40
=4
10
X =4
X =4
X =
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
32
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2) Encontrar el valor de a en la siguiente proporción.
a : 2 :: 6 : 4
a 6
=
2 4
a.4 = 2.6
4.a = 6.2
a=
6.2
4
a=
12
4
a=
12
4
a=3
a=3
2) ¿Cuánto mide el árbol de mayor tamaño si el de menor tamaño
mide 8 m?
3m
12 m
Para resolver este ejercicio utilizamos proporciones, tenemos dos
triángulos rectángulos de los cuales separándolos tenemos:
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
33
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A
x
R
8m
B
C
15 m
S
12 m
T
Entonces para calcular la altura del árbol grande tendremos:
x
8
15
12
120
x =
12
=
x=
X
15 · 8
12
= 10 m
El árbol grande tiene una altura de 10 m.
4) Encontrar la altura y del rectángulo pequeño utilizado la
proporcionalidad.
A
12 cm
B
E
F
y
C
G
D
9 cm
15 cm
AC
EG
12 · 9 = 15 · y
=
CD
GD
y =
12 15
=
y
9
108
15
y = 7,2 cm
5) Hallar dos ángulos complementarios tales que su diferencia sea
18º.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
34
GEOMETRIA PLANA
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La diferencia de los dos ángulos debe ser 18º. Y la suma de
los dos ángulos tiene que ser 90º por la definición de ángulos
complementarios.
Por lo tanto tendremos:
X +Y
= 90º
X − Y = 18º
= 108º
2X
108
2
X
=
X
= 54º
Reemplazando este valor en la primera ecuación tenemos:
54 + Y
= 90
Y
= 90 − 54
Y
= 36º
6) En el siguiente gráfico el ángulo BOC es
1
5
del ángulo
BOD. Hallar las medidas de los cuatro ángulos.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
35
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< BOD = < AOC
< BOC = < AOD
Son ángulos opuestos por el vértice.
< BOD
=
X
1
< BOC =
X
5
< BOD + < BOC = 180º
Reemplazando por sus valores tendremos:
X
5X + X
5
X
=
= 180
180 · 5
6
+
1
X
5
6X
5
X
=
= 180º
= 180
6X
900
6
X
= 180 · 5
= 150º
El ángulo BOD = 150º , entonces el ángulo AOC = 150º
Luego tenemos que el < BOC = < AOD =
1
X
5
=
1
150
5
< BOC = < AOD = 30º
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
36
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2.18
FACULTAD DE FILOSOFÍA
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Si el complemento del ángulo X es 5X. ¿Hallar el valor de
dos los ángulos?
2) Hallar dos ángulos complementarios tales que su diferencia sea
24º .
3) Hallar dos ángulos suplementarios tales que el uno sea 25º
mayor que el otro.
4) Dos ángulos son complementarios y el uno es 3 del otro.
5
Hallar sus valores.
5) Dos ángulos son suplementarios y el uno es seis veces el otro.
Calcular sus valores.
6) En la siguiente figura el ángulo ROP = 32º, hallar el valor de
los ángulos ROQ, QOS y POS.
7) Si el ángulo ROP de la figura anterior es
1
4
del ángulo
ROQ. ¿Cuántos grados tiene cada uno de los cuatro ángulos?.
7) ¿Cuánto tiene de altura el edificio de menor tamaño si el mayor
tiene de altura 80 m?
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
37
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120 m
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
38
80 m
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CAPITULO 3
TRIANGULOS
Triangulo es el polígono de menor número de lados. Como su nombre
lo indica esta formado por tres lados.
3.1 CLASIFICACIÓN DE LOS TRIANGULOS SEGÚN LOS
LADOS.- Se clasifican en:
a) ESCALENO.- Cuando sus tres lados tienen distinta magnitud.
(todos sus lados desiguales)
b) ISOSCELES.- Cuando dos de sus lados tienen igual magnitud.
(dos lados iguales)
OQ = PQ
XZ
=
XY
c) EQUILATERO.- Cuando sus tres lados tienen igual magnitud.
( tres lados iguales)
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
39
GEOMETRIA PLANA
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CD = CE = DE
3.2 CLASIFICACIÓN DE LOS TRIANGULOS POR LOS
ANGULOS.- Tomando en cuenta sus ángulos los triángulos se
clasifican en:
a) RECTANGULO.- Cuando tiene un ángulo recto. (ángulo de
90 0 )
b) OBTUSANGULO.- Cuando tiene un ángulo obtuso. (ángulo
mayor de 90 0 )
c) ACUTANGULO.- Cuando sus tres ángulos son agudos. (Todos
sus ángulos internos miden individualmente menos de
90 0 )
d) OBLICUANGULO.- Se le llama así a cualquier triángulo que
no tenga un ángulo de
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
90 0 .
40
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e) EQUIANGULO.iguales.
Cuando tiene sus tres ángulos internos
< A = < B = < C
3.3 PARTES
HOMOLOGAS.-
Son partes homólogas en dos
figuras iguales o de la misma forma las que están semejantemente
dispuestas en las dos figuras.
3.4 CONGRUENCIA.- Dos figuras son congruentes cuando se las
puede hacer coincidir en todas sus partes, es decir son figuras iguales.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
41
GEOMETRIA PLANA
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En algunos casos para omitir la palabra triángulo en las
demostraciones o ejercicios se utilizara un pequeño triángulo al lado
izquierdo y junto a las letras que correspondan.
A
Triángulo ABC =
B
∆ABC
C
X
Triángulo XYZ =
Y
3.5
∆XYZ
Z
RECTAS NOTABLES DE UN TRIANGULO
Las rectas más utilizadas y conocidas en cualquier triángulo son: base,
altura, mediana, mediatriz y bisectriz.
3.5.1 BASE.- Es cualquiera de sus lados, por comodidad se nombra al
lado inferior del triángulo, el lado en el que descansa el
triángulo.
3.5.2 ALTURA.-
Es el segmento perpendicular trazado desde un
vértice del triángulo al lado opuesto o a su prolongación.
3.5.2.1 Las tres alturas de un triangulo se intersecan (cortan) en un
punto llamado Ortocentro.
D
A
C
B
E
BASE
F
BASE
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
42
GEOMETRIA PLANA
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R
X
altura
O
(Ortocentro)
Y
Z
S
T
Para el caso de los triángulos obtusángulos el Ortocentro ( O ) queda
fuera del triángulo.
O
Ortocentro
A
C
B
3.5.3 MEDIANA.- Es el segmento que une el punto medio de un lado
del triángulo con el vértice opuesto.
3.5.3.1
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto
llamado baricentro el mismo que es el centro de gravedad del
triangulo y esta ubicado a 2 de cada uno de los vértices del
3
triángulo.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
43
GEOMETRIA PLANA
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X
A
Mediana
Y
Mediana
B
C
Z
R
D
B
(Baricentro)
S
B
T
(Baricentro)
E
F
3.6
MEDIATRIZ.-
Es la recta perpendicular trazada desde el
punto medio de cada lado de un triángulo.
3.6.1 Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto
llamado Circuncentro ( C ) equidista de los tres vértices es el centro
de la circunferencia que circunscribe al triángulo.
X
R
Y
Mediatriz
Mediatriz
Z
S
T
E
C
F
H
(Circuncentro)
G
I
J
C (Circuncentro)
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
44
GEOMETRIA PLANA
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3.7
FACULTAD DE FILOSOFÍA
BISECTRIZ.-
Es el segmento de recta que parte desde un
vértice y divide al ángulo implicado en dos ángulos adyacentes
iguales.
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado
Incentro ( I ), equidista de los tres lados del triángulo.
U
E
Bisectriz
Bisectriz
F
G
W
V
A
R
I
(Incentro)
C
I (Incentro)
S
B
T
3.8
FORMULAS PARA EL CÁLCULO DE ANGULOS,
LADOS,
PERIMETROS Y AREAS.
3.8.1 ANGULO EXTERNO.- Es aquel que esta formado por un
lado y la prolongación de otro.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
45
GEOMETRIA PLANA
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FACULTAD DE FILOSOFÍA
En la fig. 1 el ángulo externo es el
externo es el < y.
< x; en la fig. 2 el ángulo
3.8.2 SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES DE UN
TRIANGULO.- En todo triángulo la suma de sus ángulos
interiores es igual a dos rectos (180º).
< A + < B + < C = 180º
3.8.3 SUMA DE
<R + <S
+ <T
= 180º
LOS ANGULOS EXTERIORES DE UN
TRIANGULO.- En todo triángulo se cumple, la suma de sus
ángulos exteriores es cuatro rectos (360º).
< x + < y + < z
= 360 º
< r + < s + < t
=
360 º
3.8.4 PERIMETRO.- Es igual a la suma de las longitudes de los tres
lados, los tres lados deben tener la misma unidad de medida.
Ejemplos:
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
46
GEOMETRIA PLANA
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FACULTAD DE FILOSOFÍA
AB + AC + BC = P
A
B
C
P = EF + EG + FG
E
9m
13 m
F
3.9
P = 9m + 12 m + 13m
P = 34 m
12 m
G
AREA DE UN TRIANGULO.-
De acuerdo a la utilidad y
necesidad hay dos formas conocidas
para encontrar el área de
cualquier tipo de triángulo.
a) El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la
base multiplicado por la altura.
En otras palabras es igual a la multiplicación de la base por la altura,
este resultado lo dividimos para dos.
A=
b.h
2
Altura = h
Base = b
La demostración de la formula la tenemos a continuación:
D
C
a
A
B
b
Tenemos el triángulo ABC en el cual b = base y a = altura.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
47
GEOMETRIA PLANA
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FACULTAD DE FILOSOFÍA
Trazamos dos paralelas una al lado AB y que pase por el punto C, y
la otra paralela al lado BC y que pase por A.
Entonces tenemos que ABDC es un paralelogramo en el cual
tenemos que :
A = b
x a
Em la figura anterior tenemos que:
∆ ABC
+ ∆ ADC =
Entonces tendremos:
∆ ABC
parale log ramo. = b x a
ABCD
∆ ABC
+ ∆ ADC = b x a
2∆ABC
= bx a
∆
ABC
= ∆ ADC
=
Reemplazando por su igual.
b x a
2
Que es la formula para encontrar el área de cualquier triángulo en el
cual se conozca la base y la altura.
E
13,5mx7,5m
2
101,25m 2
A=
2
A = 50,625m 2
A=
7,5 m
13,5 m
F
G
b) Otra formula conocida para hallar el área de un triángulo es la
siguiente. A esta formula también se le conoce cono Teorema de
Heron.
A = s( s − a)(s − b)(s − c)
El área de un triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto del
semiperímetro multiplicado por tres factores, cada uno de los cuales
es la diferencia entre el semiperímetro y uno de sus lados.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
48
GEOMETRIA PLANA
UNIVERSIDAD DE CUENCA
(La
FACULTAD DE FILOSOFÍA
demostración de esta formula la tenemos más adelante.
Teorema 29).
3.10 TEOREMA DE PITAGORAS
Dentro de las formulas mas importantes y más conocidas se encuentra
el famoso
Teorema de Pitágoras; se la utiliza para la resolución de
triángulos rectángulos ya que esta nos ayuda a encontrar la hipotenusa
o alguno de los catetos desconocidos.
a2 = b2 + c2
En todo triángulo rectángulo se cumple: La hipotenusa elevada al
cuadrado es igual a la suma de cada uno de los catetos elevados
al cuadrado.
B
a2 = b2 + c2
c
A
a
b
a = b2 + c2
Para halla la hipotenusa a.
b = a2 − c2
Para halla el cateto b.
c = a2 − b2
Para hallar el cateto c.
C
DEMOSTRACIÓN:
Tenemos el triángulo rectángulo ABC en el cual: < C = 90º; CD
= h (altura); AB es la base del triángulo.
Entonces
tendremos
∆ ABC ≈ ∆ ADC ≈ ∆ BCD ,
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
tres
triángulos
semejantes
como se ve en las siguientes figuras.
49
GEOMETRIA PLANA
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1)
c
b
=
FACULTAD DE FILOSOFÍA
b
AD
y
fig. a
y fig. c
c
a
3)
b2
= c · AD
Despejando b de la proporción 1).
a2
= c · BD
Despejando a de la proporción 2).
=
Sumando 3) y 4) tenemos:
Luego
fig. b
2)
4)
a
DB
fig. a
a2
+
b2
a2
+ b2
= c ( AD + BD)
AD + BD = c
= c·c
Entonces tendremos:
a
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
2
+
50
b
2
=
c
2
GEOMETRIA PLANA
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FACULTAD DE FILOSOFÍA
3.11 EJERCICIOS RESUELTOS.
1) El área de un triángulo equilátero es
200 m 2
y su altura es 15 m.
Calcular el perímetro.
Como es un triángulo equilátero tendremos sus tres lados iguales:
AB = BC = AC
Para este ejercicio conocemos el área
tenemos que encontrar la base
200 m 2
y la altura 15 m,
AC, entonces aplicando la formula
del área de un triángulo tendremos:
A =
Bxh
2
200 m 2
=
AC x 15 m
2
2 · 200 m 2 = AC x 15 m
2 · 200 m 2
15 m
400 m 2
15 m
=
=
AC
AC
26 , 666 m =
AC
Entonces AB = BC = AC = 26 ,666 m
Aplicando la formula del perímetro tendremos:
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
51
GEOMETRIA PLANA
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P =
FACULTAD DE FILOSOFÍA
P = 26 , 666 m + 26 , 666m + 26 , 666m
AB + BC + AC
P = 79 , 998 m = 80 m
2) Las longitudes de los lados de un triángulo RST son: r = 12
m, s = 14m y t = 11 m. Calcular el perímetro y el área del
triángulo.
=
P
RS
+
ST
+
RT
P = 11 m + 12 m + 14 m
P = 37 m
Para calcular el área utilizamos la formula siguiente:
=
A
s ( s − a )( s − b )( s − c )
La letra s representa el semiperímetro de un triángulo, la cual viene
de dividir el perímetro P para 2.
s
=
P
2
Para nuestro ejemplo y para evitar confusiones al semiperímetro lo
representaremos con la letra z.
z =
P
2
z =
37 m
2
z = 18.5 m
Entonces tendremos:
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
52
GEOMETRIA PLANA
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=
A
A =
z ( z − r )( z − s )( z − t )
18.5(18.5 − 12)(18.5 − 14)(18.5 − 11)
A =
A =
18.5(6.5)(4.5)(7.5)
4058.4375
A = 63,7 m 2
3) En un triángulo ABC, el <A = 98º y el <C = 43º. Calcular
el valor del <B y además establecer la clase a la cual pertenece
según sus lados y ángulos.
Ángulos interiores de un triángulo.
< A + < B + < C = 180º
Reemplazando valores conocidos.
98º + < B + 43º = 180º
< B = 180º − 98º − 43º
< B = 180º − 141º
< B = 39º
Es un triángulo Obtusángulo porque tiene un ángulo Obtuso y a la
vez es un triángulo oblicuángulo porque ninguno de sus ángulos es
recto.
4)
Las longitudes de los lados de un triángulo son: a = 18 m,
b = 20 m y
c = 19 m. Calcule la longitud de la altura
correspondiente al lado AC.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
53
GEOMETRIA PLANA
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FACULTAD DE FILOSOFÍA
Para encontrar la altura el triángulo ABC, tenemos que buscar
inicialmente el Perímetro, luego encontramos el área utilizando la
formula del semiperimetro y la remplazamos en la formula más
elemental del área de un triángulo.
P
=
AB
+
P
=
19 m + 18 m + 20 m
P
=
57 m
BC
Semiperimetro =
=
P
2
AC
= s
57
= 28.5 m
2
s =
A
+
s ( s − a )( s − b )( s − c )
A =
28.5(28.5 − 18)(28.5 − 20)(28.5 − 19)
A =
28.5(10.5)(8.5)(9.5)
A =
24164.4375
A = 155.45 m 2
Ahora utilizamos la formula
A =
b·h
2
y reemplazamos los datos
conocidos.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
54
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=
20 m · h
2
2 · 155.45 m 2
20 m
= h
155.45 m 2
h = 15.545 m
3.12
1)
EJERCICIOS PROPUESTOS
Las longitudes de los lados de un triángulo DEF son: d = 18
m, e = 20 m y f = 17 m. Calcular el perímetro y el área.
2)
El área de un triángulo equilátero es 180
m2
y su altura 9,5
m. Calcular el perímetro.
3) Un triángulo tiene de área
320 m 2
y su base mide 15 m.
Calcular la longitud de la altura.
4)
En un triángulo ABC tenemos los siguientes datos: < A =
57º y < B = 25º. Calcular el valor del < C y además establecer
la clase a la cual pertenece según sus ángulos y lados.
5) En un triángulo isósceles el ángulo comprendido entre los dos
lados iguales mide 42º21’ 32”. Calcular los valores
correspondientes de los otros ángulos.
6) Las longitudes de los lados de un triángulo XYZ son: x = 20 m,
y = 22m y z = 18 m. Calcular la longitud de la altura
correspondiente al lado XZ.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
55
GEOMETRIA PLANA
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CAPITULO 4
CUADRILATEROS
Un cuadrilátero es un polígono cerrado formado por cuatro rectas, a
las cuales se las llama lados del cuadrilátero.
4.1 ELEMENTOS DE LOS CUADRILATEROS
Los elementos que forman un cuadrilátero son: cuatro lados, cuatro
vértices y cuatro ángulos.
A un cuadrilátero se lo define colocando cuatro letras mayúsculas
consecutivas junto a cada uno de sus vértices.
D
C
A
B
En este cuadrilátero tenemos los lados:
Tenemos los cuatro ángulos
AB, BC , DC
< BAD, < ADC , < DCB
y
AD.
y < CBA.
Y además los cuatro vértices: A, B, C y D.
CLASIFICACION DE LOS CUADRILATEROS.
De acuerdo al paralelismo de sus lados los cuadriláteros pueden ser:
4.2
Trapecios, trapezoides y paralelogramos.
a) TRAPECIO.- Es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos.
(bases paralelas)
Tiene dos lados paralelos que se les llama bases, a la de mayor
longitud se le llama base mayor y la de menor longitud se la llama
base menor.
C
D
A
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B
56
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b) TRAPEZOIDE.- Es el cuadrilátero que no tiene una pareja de
lados paralelos. Cuando una de sus diagonales es mediatriz de la
otra, el trapezoide se llama simétrico.
A
C
B
D
c) PARALELOGRAMO.- Es el que tiene dos lados opuestos
paralelos de dos en dos.
A
B
C
D
AB
CD
y
AC
BD
RECTAS NOTABLES DE LOS CUADRILATEROS
a) BASE.- Es el lado en el que se asienta (descansa) la figura.
4.3
En el trapecio los dos lados paralelos se llaman bases.
En el paralelogramo dos lados opuestos cualesquiera se llaman bases.
b) ALTURA.- Es la longitud de la perpendicular trazada desde una
base a la otra generalmente se la designa con la letra h.
c) DIAGONAL.- Es toda recta que une dos vértices no consecutivos
de un cuadrilátero generalmente se la designa con la letra d.
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57
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C
D
R
h
S
h
d
d
T
A
U
B
4.4 PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS
1) Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales y
paralelos.
A
B
C
D
AB
CD
AB = CD
AC
BD
AC =
BD
2) Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.
< C = < B
y
< A = < D
3) Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son
suplementarios.
< R + < S = 180º
< T + < U = 180º
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58
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4) Las diagonales de un paralelogramo se bisectan (dividen)
mutuamente.
O
P
M
Q
R
OM = MR
y
PM = MQ
5) Cada diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos
iguales.
D
E
F
G
∆ DEF = ∆ FEG
4.5 CUADRILATEROS ESPECIALES
Se les llama paralelogramos especiales a los rectángulos, rombos y
cuadrados porque estos tienen características similares y además son
las formas que más encontramos en los diseños hechos por el hombre.
a) RECTANGULO.-
Tiene sus cuatro ángulos iguales (cuatro
ángulos rectos), y tiene sus lados iguales y paralelos de dos en
dos.
R
S
T
U
< R = < S = <T = <U
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59
= 900
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RS = y
a
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TU
RT = y
a
SU
b) ROMBO.- Es un cuadrilátero que tiene sus cuatro lados iguales
y sus ángulos opuestos iguales.
A
B
C
D
AC = CD = BD = AB
<A = <D
y < B = <C
c) CUADRADO.- Es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados
iguales y sus cuatro ángulos iguales (ángulos de
900 ).
< E = < F = < G = < H = 900
EF = FH = GH = EG
4.6 CUADRILATEROS SEMEJANTES
Se les llama cuadriláteros semejantes a aquellos que tienen la misma
forma pero distinto tamaño.
4m
A
B
2m
E
3m
3m
C
4 m
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D
60
F
1m
1m
G
2 m
H
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Para la explicación citaremos un teorema en el cual tenemos la
demostración de la semejanza.
TEOREMA 1.- Dos rectángulos son entre sí como los productos de
las bases por sus respectivas alturas.
a
R
a’
b
R’
a’
S
b’
Tenemos como condición inicial
bases son b y b’
Demostrar que:
b
R y R’
cuadriláteros
cuyas
y las alturas a y a’.
R
R'
=
ab
a ' b'
Para la demostración construimos el rectángulo S de base b y
altura a’.
Luego tenemos que hallar las razones entre las bases,
alturas y áreas de los tres rectángulos.
R
S
=
a
a'
S
R
=
b
b'
RS
=
SR'
ab
a ' b'
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
Dos rectángulos de una misma
base son entre sí como sus
Dos rectángulos de una
misma altura son entre sí
Multiplicando miembro a
miembro las dos igualdades.
61
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R
=
R'
Entonces tendremos:
ab
a ' b'
l. q. q. d
4.7 AREAS DE LOS CUADRILATEROS
TEOREMA 2 .- El área de un rectángulo es igual al producto de la
base por la altura.
1
a
R
U
b
1
Tenemos un rectángulo de base b y altura a ; U la unidad de
superficie de base 1 y altura 1.
Demostrar:
R = a·b
R
U
Dos rectángulos son entre sí
como los productos de las bases
por las alturas.
l. q. q. d
a.b
1·1
=
R = a·b
TEOREMA 3 .-
El área de un paralelogramo es igual al
producto de la base por la altura.
Y
D
S
X
C
a
A
B
b
Tenemos el paralelogramo ABCD de base b y altura a.
Demostrar que S = b x a
Para la demostración desde B trazamos BX
trazamos
AY
⊥
CD. Y desde A
⊥ CD.
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62
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Tenemos que el
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∆ ADY
= ∆ BCX
Si AY = BX y AD = BC.
paralelogramo.
<Y
= <X
= 900
BX ⊥ CD
Lados opuestos de un
y
AY ⊥ CD .
Por construcción.
Dos triángulos rectángulos son
iguales cuando tienen iguales la
hipotenusa y un cateto.
∆ ADY = ∆ BCX
Si al cuadrilátero ABCY le restamos el Triángulo BCX tenemos el
cuadrilátero ABXY.
Como el paso anterior al cuadrilátero ABCY le restamos el
triángulo ADY nos queda el cuadrilátero ABCD.
Si a cantidades iguales se
ABXY = ABCD
restan cantidades iguales los
resultados son iguales.
Entonces tenemos:
Entonces concluimos:
TEOREMA 4 .-
ABCD = a.b
l. q. q. d
El área de un trapecio es igual al producto de la
semisuma de las bases por la altura.
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63
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En la figura tenemos que ABCD es un trapecio, b1 y b2 son las
bases y h la altura correspondiente.
Demostrar:
A =
(b1 + b 2) · h
2
Entonces trazamos AC y se divide ABCD en dos triángulos,
∆ ABC
y ∆ ACD.
Para la demostración tenemos que:
ABCD = ∆ ABC + ∆ ACD
∆ ABC =
A =
b2 · h
2
ABCD =
A. ABCD =
TEOREMA 5.diagonales.
y
b1 · h
2
∆ ACD =
+
(b1 + b2) · h
2
A =
b1 · h
2
b2 · h
2
l. q. q. d
El área del rombo es igual al semiproducto de las
ABCD es un rombo en el que d1 y d2 son sus diagonales.
Demostrar:
A =
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64
d1 · d 2
2
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Luego de trazar las diagonales
observamos que
tenemos
dos
triángulos iguales en los cuales tienen comúnmente la basa d1 y la
altura
d2
.
2
ABCD = ∆ ABC
El todo es igual a la suma de sus partes.
+ ∆ ACD
A = ∆ ABC
=
A = ∆ ACD =
⎛ d2⎞
d1 · ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
2
A. ABCD =
A.
4.8
=
ABCD
⎛ d2⎞
d1 · ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
2
⎛ d2 ⎞
d1 ·⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
2
+
⎛ d2⎞
d1 · ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
2
d1 · d 2
2
l. q. q. d
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Sea EFGH un trapecio, hallar el valor de X y Y.
Tenemos que EF
HG.
3 x + ( x − 2) = 180º
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65
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3x +
x − 2 = 180º
4 x − 2 = 180º
x =
4 x = 178
178
4
x = 44 , 5
Entonces el ángulo H = 3 x = 3 ( 44 , 5) = 133 , 5º
ángulo
E = x - 2 = 44 , 5 - 2 = 42 , 5º.
y
el
Luego tenemos:
2 y + 45 = 180º
y =
180 − 45
2
y =
135
2
y = 22 , 5
Entonces el ángulo G será:
G = 2 y = 2 ( 22 , 5) = 45º
2.- Tenemos que ABCD es un trapecio Isósceles. Calcular el valor
de x e y.
〈A = 〈B
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66
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3 x = ( 5 x − 25 )
25 = 5 x − 3 x
25 = 2 x
x =
25
2
x = 12 , 5
〈 A = 3x
〈 B = 5 x − 25
y
〈 A = 4 · ( 12 , 5 )
〈 B = 5 · ( 12 , 5 ) − 25
〈 A = 50º
〈 B = 47 , 5º
Tenemos que DC
AB por lo tanto:
3 y + (5 x − 25) = 180º
3 y + 47 , 5 = 180º
y =
180º − 47 , 5º
3
y = 44 , 16º
Tenemos que el ángulo D = ángulo C.
Por lo tanto tendremos:
〈D = 〈C
= 3y
〈D = 〈C
〈D = 〈C
= 3 · ( 44 , 16 )
= 132 , 48º
3.- Sea ABCD un paralelogramo, calcular el valor de x e y , si el
perímetro es igual a 60 m.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
67
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Suponemos que DC = AB = 5 x
y
AD = BC = 2 x
2 ( 2 x + 5 x ) = 60
14 x = 60
60
14
x =
x = 4 , 28
3y − 2 =
3y
5x
− 2 = 5 ( 4 , 28 )
3 y − 2 = 21 , 40
y =
21 , 4 + 2
3
y = 7,8
4.- Calcular el valor de x e y en el siguiente paralelogramo.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
68
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Tenemos que las diagonales AC y BD se bisectan:
OD = OB
OA = OC
Reemplazando tendremos:
(1)
2x = 3y
(2)
Despejamos x de la ecuación ( 1 ) y luego reemplazamos en la
ecuación ( 2 ).
x −
y = 12
x =
3
y −
2
3y
3
y
2
y = 12
− 2y
2
y
2
= 12
= 12
y = 24
Reemplazamos este valor de y en la ecuación ( 2 ) y obtenemos:
x − 24 = 12
x = 36
5.-
Tenemos el rectángulo RSTU , en el cual M el punto medio
del lado RS. Demostrar que: TM = UM
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
69
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Como datos iniciales tenemos que
RSTU
es un
rectángulo,
además RM = MS, M punto medio de RS.
Suponemos que el
∆ MRT
RM = MS
= ∆ MUS
Condición inicial.
<R = <S
Ángulos
rectos
RT = US Lados opuestos del rectángulo
Entonces podemos afirmar
Por lo tanto:
∆ MRT
= ∆ MUS
RM = MS
Dos triángulos
rectángulos son
iguales cuando tienen
iguales
respectivamente sus
dos catetos.
Lados homólogos.
6.- ABCD es un rombo, calcule el valor de x e y para cada uno de
los elementos.
Tenemos que
BC ≅ AB
Reemplazando tendremos:
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y
70
CD ≅
BC
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y − 6 = 5 y − 20
5 y − y = 20 − 6
4 y = 14
x −8 = y − 6
y = 3,5
x − 8 = 3, 5 − 6
x = 8 − 2, 5
x = 5, 5
7.- Tenemos el rectángulo ABCD, en el cual E punto medio de BC.
Demostrar:
AE ≅ ED
Para la demostración hay que demostrar primero:
∆ AEB ≅ ∆ CDE
ABCD es un rectángulo.
Condición inicial.
E es el punto medio de BC.
Condición inicial.
BE ≅ EC
Un punto medio divide una línea en dos partes
congruentes.
<B ≅ <C
Un rectángulo tiene todos sus ángulos iguales.
AB ≅ CD
Lados opuestos de un paralelogramo son congruentes
∆ AEB ≅ ∆ CDE
Dos triángulos rectángulos son iguales si tienen
iguales respectivamente los dos catetos.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
71
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Entonces podemos concluir:
AE ≅ ED
Partes correspondientes
de triángulos congruentes son congruentes.
8.- Demostrar que la diagonal de un rombo bisecta cada uno de los
ángulos por los que pasa.
Condiciones iniciales:
su diagonal.
ABCD
Demostrar: AC bisecta al < A
es un rombo en el cual AC es
y al < C.
Para llegar a la demostración pedida, hay que empezar demostrando
la congruencia entre los ángulos:
1)
< 1 y <2 ≅ <3
2)
< 3 y < 4 ≅ <1
ABCD es un rombo.
Condición inicial.
AB ≅ BC
Todo rombo es equilátero.
<1 ≅ < 3
En un triángulo ∆ ,
<s
opuestos a lados congruentes son
congruentes.
BC
//
AD
y
Lados opuestos de un rombo son
AB // CD
paralelos.
<2 ≅ <3
y
<1 ≅ < 4
∠s
alternos internos de líneas // son
congruentes
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72
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<1 ≅ < 2
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y <3 ≅ <4
∠s
congruentes con un mismo
ángulo son congruentes entre sí.
Entonces podemos afirmar:
AC bisecta al
< A y al < C.
Dividir en dos partes congruentes es bisectar.
4.9 EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- ABCD es un trapecio. Calcular los valores de x e y que
constan en sus ángulos.
2.- Calcular los valores de x e y en el paralelogramo de la figura
y para cada uno de los siguientes casos.
a) AD = 5 x; AB = 2 x;
b) < A = 4 y – 60;
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
CD = y; perímetro = 84 m.
< C = 2y;
73
<D = x
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3.- Demostrar que si las diagonales de un paralelogramo son iguales,
se trata de un rectángulo.
4.- Demostrar que las diagonales de un rombo lo dividen en cuatro
triángulos congruentes.
5.-
Demostrar que si se unen los puntos medios de los lados de un
cuadrado, se forma otro cuadrado.
6.- ABCD es un rectángulo cuyo perímetro mide 80 m y su base
es igual al triple de la altura. Calcular su área.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
74
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7.- En un rectángulo el área mide 120
y se conoce que su base
m2
es el cuadruplo de la altura. Calcular las dimensiones de la base y de
la altura.
8.- Si la diagonal de un cuadrado mide
6 3.
Calcular su área.
9.- Si ABCD es un paralelogramo en el que su base mide 15 m. y
su área mide
10.-
320 m 2 .
Calcular el valor de la altura.
ABCD es un paralelogramo en el que la altura es igual al
doble de la base y su área mide
120 m 2 .
Calcular las dimensiones de
la base y de la altura
11.- Hallar el valor del área de un rombo EFGH si su lado mide 20
m. y su diagonal menor 12 m.
12.- Calcular el perímetro de un rombo si su área mide
180 m 2
y su
diagonal menor 62 m.
13.-
Calcular la longitud de las dos diagonales de un rombo cuya
área es de 220
m2
y si se conoce que la diagonal menor es la mitad
de la diagonal mayor.
14.-
Calcular el área de un trapecio isósceles ABCD, si su base
menor mide 40 m, su base mayor 50 m. y sus lados iguales 10 m.
15.-
Calcular el área de un trapecio rectángulo si sus dos bases
miden 20 cm y 26 cm, y el lado oblicuo 18 m.
16.- Supóngase que ABCD es un paralelogramo, calcular x e y
si:
(a) AD = 5x,
AB = 2x,
(b) < A = 3x,
< B = 10x – 15,
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
CD = y,
75
perímetro = 84 cm.
< C = y.
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ABCD es un paralelogramo, calcular x e y para los
siguientes casos:
17.-
(a) AE = x + y,
(b) AE = 2x + y,
EC = 20,
AC = 30,
BE = x - y,
BE = x + y,
ED = 8.
BD = 24.
18.- En la siguiente figura ABCD es un rombo, calcular x e y
para los siguientes casos.
(a) BC = 35, CD = 8x – 5, BD = 5y, < C = 60º.
(b) AB = x + y, AD = 2x – y, BC = 12.
19.- Si MP es la mediana del trapezoide ABCD calcular:
(a)
(b)
m si b = 23 y b’ = 15.
b si b’ = 51 y m = 52.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
76
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Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
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77
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CAPITULO 5
TEOREMAS BASICOS DE GEOMETRIA
5.1 CRITERIOS DE IGUALDAD. TEOREMAS
Dos triángulos cualesquiera son iguales cuando tienen iguales:
1) Un lado y los dos ángulos adyacentes a el.
2) Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
3) Los tres lados.
Dos ángulos son adyacentes a un lado, cuando dicho lado es común
a los dos.
TEOREMA 6.-
Si dos lados de un triángulo y el ángulo
comprendido son respectivamente iguales a los dos lados y el
ángulo comprendido de otro triángulo, los dos triángulos son
iguales.
C
Z
A
X
B
Y
En los triángulos ABC, XYZ tenemos como condiciones iniciales.
AB = XY
AC = ZX
< A =< X
Demostrar que los dos triángulos son iguales.
∆ABC = ∆XYZ
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
78
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Para la demostración vamos a colocar el
∆ABC
sobre el
∆XYZ ,
de
manera que A caiga sobre X y AB sobre XY.
Entonces B caerá sobre Y.
Condición inicial.
AB = XY
AC tomara la dirección XZ
Condición inicial.
< A =< X
C caerá sobre Z.
Condición inicial.
AC = XZ
Entonces obligatoriamente CB coincidirá con
XY.
De la cual podemos afirmar que los dos
triángulos son congruentes y por lo tanto son
iguales.
TEOREMA 7.-
Por dos puntos
dados
cualesquiera
puede hacerse
pasar una recta
y solo una.
Dos triángulos son iguales si tienen iguales
respectivamente un lado y los ángulos adyacentes a dicho lado.
C
A
Z
B
X
Y
Tenemos los triángulos ABC y XYZ en los que los ángulos A y B
son iguales respectivamente a los ángulos X y Y , el lado AB es
igual al lado XY.
< A =< X
Demostrar:
< B =<Y
AB = XY
∆ABC = ∆XYZ
Para la demostración colocamos el
∆ABC
sobre el
∆XYZ
de tal
manera que AB coincida con su igual XY.
Los lados AB y BC tomarán respectivamente las direcciones XY
y YZ porque como condición inicial tenemos
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
79
< A =< X
y
< B =< Y
GEOMETRIA PLANA
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Entonces
Z.
C
FACULTAD DE FILOSOFÍA
Dos rectas no pueden cortarse en
más de un punto.
caerá sobre
Y finalmente tendremos que los dos triángulos son iguales.
L. q. q. d
Dos figuras son iguales cuando pueden hacerse coincidir en todas
sus partes.
TEOREMA 8 .- En todo triángulo Isósceles los ángulos opuestos a
los lados iguales son iguales.
C
Sea ABC un triángulo Isósceles en el que:
AC = BC
Demostrar que:
A
D
< A =< B
B
Para la demostración trazamos la bisectriz CD del ángulo ACB.
Ahora tenemos los triángulos ADC y BCD, en los cuales:
Condición inicial
AC = BC
Lado común. (Por construcción)
CD = CD
Por construcción, CD biseca al
< ACD =< BCD
∆ADC = ∆BDC
Por Teorema 1.
Por lo tanto tendremos que:
< A =< B
< ACB
Si dos lados de un triángulo y el ángulo
comprendido son respectivamente iguales a
dos lados y el ángulo comprendido de otro
Triángulo, los dos triángulos son iguales.
Partes homólogas de dos figuras
congruentes son iguales.
l. q. q. d
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
80
GEOMETRIA PLANA
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TEOREMA
9.-
FACULTAD DE FILOSOFÍA
Si los tres lados de un triángulo son
respectivamente iguales a los tres lados de otro triángulo, los dos
triángulos son iguales.
A
A`
B
C
B`
C`
Sean ABC y A`B`C`
dos triángulos en los que tenemos las
siguientes condiciones iniciales.
AB = A`B`
AC = A`C `
BC = B`C `
Demostrar que:
∆ABC = ∆A`B`C `
Para la demostración volteamos el
∆A`B`C `
y lo colocamos de modo
que A`B` coincida con su igual AB.
El vértice C` caerá abajo del lado AB, como se ve en la figura y por
lo tanto el
∆A`B`C `
quedara en la nueva posición ABC`.
C
A
B
C`
Luego trazamos CC`.
Ahora tenemos
AC = AC´
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
y
BC = BC´
81
.
Condición inicial.
GEOMETRIA PLANA
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FACULTAD DE FILOSOFÍA
En consecuencia.
< ACC `=< CC `A
< C `CB =< BC `C
En todo triángulo
Isósceles los ángulos
opuestos a los lados
iguales son iguales.
Tomando en cuenta los ángulos tenemos:
< ACC `+ < C `CB =< CC `A+ < BC `C
Si
a cantidades iguales se
agregan o se quitan cantidades
iguales los resultados son
iguales.
Toda
cantidad
puede
remplazarse con su igual.
< ACB =< BC `A
Luego podemos afirmar que:
Por Teorema 1.
Si dos lados de un triángulo y el ángulo
comprendido
son
respectivamente
iguales a dos lados y el ángulo
comprendido de otro triángulo, los dos
triángulos son iguales.
∆ABC = ∆ABC `
Por lo tanto:
El triángulo
∆ABC = ∆A`B`C `
A`B`C `
es el triángulo
ABC `
en otra posición.
l. q. q. d
RECTAS PERPENDICULARES Y OBLICUAS.
5.2
TEOREMA 10.- De un punto exterior a una recta no puede bajarse a
esa recta más de una perpendicular.
P
X
Y
O
Z
P`
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
82
GEOMETRIA PLANA
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Sea
FACULTAD DE FILOSOFÍA
P un punto exterior a la recta XY ; PO una perpendicular
bajada de P a XY.
PZ otra recta cualquiera trazada desde P a XY.
Demostrar que PZ no es perpendicular
( ⊥)
a XY.
Para la demostración prolongamos PO hasta
P’
haciendo que
OP’
igual a la
Toda
recta
puede
prolongarse en ambos
sentidos.
perpendicular PO.
Por dos puntos dados se
puede hacer
pasar una
recta y solo una.
Ahora trazamos P’ Z
Por construcción POP’ es una recta.
Por la definición anterior PZP’ no es una recta. y el
lados colineales.
< POZ
y
< ZOP '
Por lo tanto:
Son rectos.
Una recta es perpendicular a otra
cuando los ángulos que forman entre
ellas son ángulos rectos.
PO = OP`
Por construcción.
OZ = OZ
Lado común.
∆OPZ = ∆OP`Z
< OZP
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
Por Teorema 1
Las partes homologas de figuras
congruentes son iguales.
< OZP =< OZP`
Por lo tanto:
no es de
Todos los ángulos rectos son iguales.
< POZ =< ZOP '
Con lo cual tenemos:
Luego:
< P ' ZP
es la mitad del
83
< OZP`,
No es recto.
GEOMETRIA PLANA
UNIVERSIDAD DE CUENCA
FACULTAD DE FILOSOFÍA
Y podemos asegurar:
PZ
Una recta es perpendicular a
otra cuando el
ángulo que
forman entre las dos es recto.
no es
perpendicular ( ⊥ ) a XY.
l. q. q. d
TEOREMA 11.-
Si de un punto de una perpendicular a una recta se
trazan a esa recta dos oblicuas cuyos pies estén a igual distancia del
pie de la perpendicular, esas dos oblicuas son iguales y forman
ángulos iguales con la perpendicular.
P
X
Y
A
O
B
Tenemos las siguientes condiciones iniciales: PO una perpendicular
a XY, y sean PA y PB dos oblicuas trazadas desde P a XY de tal
manera que OA = OB.
Demostrar que:
Tenemos:
PA = PB
< POA =< POB
Por lo tanto:
En conclusión:
y
< APO =< BPO
Ángulos rectos.
Por condición inicial.
OA = OB
Condición Inicial.
PO = PO
Lado común.
Por Teorema 1.
∆AOP = ∆BOP
PA = PB
y
< AOP =< BPO
Partes homologas de figuras
iguales.
l. q. q. d
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
84
GEOMETRIA PLANA
UNIVERSIDAD DE CUENCA
FACULTAD DE FILOSOFÍA
TEOREMA 12.- Si de un punto de una perpendicular a una recta se
trazan a esa recta dos oblicuas cuyos pies no equidistan del de la
perpendicular, la oblicua cuyo pie dista más es mayor que la otra.
P
X
A
B
O
C
Y
P`
PO ⊥ XY
Tenemos como condiciones iniciales:
PA y PC
Oblicuas
OA > OC
Demostrar que:
PA > PC
Para la demostración tomamos OB = OC, entonces trazamos
PB = PC y tememos:
PBC es un Triángulo Isósceles
Luego prolongamos PO de modo que
P' A y P'B .
Entonces:
PA = P ' A
PB = P ' B
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
Por Teorema 6
85
PO = OP ' ,
ahora trazamos
Si de un punto de una
perpendicular a una recta se
trazan dos oblicuas cuyos pies
estén a igual distancia del pie de
la perpendicular, esas dos
oblicuas son iguales y forman
ángulos
iguales
con
la
perpendicular.
GEOMETRIA PLANA
UNIVERSIDAD DE CUENCA
FACULTAD DE FILOSOFÍA
Si de un punto situado en el interior de un
triángulo se trazan rectas a los extremos de uno
de los lados, la suma de estas rectas es menor
que la suma de los otros dos lados del triángulo,
(lados iniciales).
PA + P ' A > PB + P ' B .
.
Por lo tanto:
2 PA > 2 PB
y
PA > PB
Entonces podemos afirmar:
Toda
cantidad
puede
remplazarse con su igual.
l. q. q. d
PA > PB
TEOREMA 13.- La perpendicular es la más corta de las rectas que
pueden trazarse a una recta de un punto situado fuera de ella.
P
X
Z
O
Y
P`
Tenemos las siguientes condiciones iniciales:
fuera de la recta XY.
P un punto situado
PO ⊥ XY
PZ una oblicua cualquiera.
Demostrar que:
PO < PZ
Para la demostración prolongamos PO hasta P’ de modo que
PO = P ' O
y luego trazamos P’ Z
Entonces nos quedara:
PZ = P`Z
Luego:
PZ + P ' Z = 2 PZ
O también:
PO + P ' O = 2 PO
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
86
Por Teorema 6.
Toda cantidad puede
remplazarse con su
igual.
GEOMETRIA PLANA
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FACULTAD DE FILOSOFÍA
Si en los dos miembros de una desigualdad se
realiza una operación con números positivos, el
sentido de la desigualdad no cambia.
PO + P ' O < PZ + P ' Z
Por lo tanto:
Toda cantidad puede remplazarse con su igual.
2 PO < 2 PZ
Si se suman dos desigualdades en un mismo
sentido los resultados son desiguales en el
mismo sentido de la desigualdad dada.
Luego podemos afirmar:
PO < PZ
l. q. q. d
5.3
IGUALDAD DE TRIANGULOS RECTANGULOS
A los lados de un triángulo rectángulo se les conoce con el nombre de
Hipotenusa y Catetos.
HIPOTENUSA.- Es el lado opuesto al ángulo recto y siempre es
mayor que cada uno de los catetos.
CATETOS.- Son los lados adyacentes al ángulo recto, por lo general
siempre el uno es mayor que el otro.
A
Cateto menor
hipotenusa
B
C
Cateto mayor
TEOREMA 14.-
Dos triángulos rectángulos son iguales si la
hipotenusa y el cateto del uno son respectivamente iguales a la
hipotenusa y el cateto del otro.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
87
GEOMETRIA PLANA
UNIVERSIDAD DE CUENCA
FACULTAD DE FILOSOFÍA
C
C`
A
B
A`
B`
Tenemos los dos triángulos rectángulos en los que la hipotenusa
BC = B 'C '
y los catetos
Demostrar que:
AC = A 'C '
∆ABC = ∆A`B`C `
Para la demostración colocamos el
junto al
∆ABC
de
∆A ' B ' C '
suerte que:
AC caiga sobre su igual
A’ C’
entonces B Y B’ quedaran
opuestos al lado A’ C’ como muestra el siguiente gráfico.
C`
B
B`
A`
Entonces BA caerá en la prolongación de A’ B’.
< BAC ' + < B ' A ' C '
BC = B 'C '
= 2 ángulos rectos.
El lado BC` es el lado B’ C’
en otra
posición y se supone:
BC = B 'C '
Por lo tanto:
De un punto exterior a una recta solo dos
oblicuas de igual longitud pueden trazarse.
BA ' = A ' B '
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
88
GEOMETRIA PLANA
UNIVERSIDAD DE CUENCA
FACULTAD DE FILOSOFÍA
Dos triángulos rectángulos son
iguales si dos lados cualesquiera del
uno
son
iguales
a
los
correspondientes del otro.
Y finalmente podemos afirmar:
∆ABC = ∆A ' B ' C '
l. q. q. d
TEOREMA 15.-
Dos triángulos rectángulos son iguales si tienen
iguales respectivamente la hipotenusa y uno de los ángulos adyacentes
a ella.
C
A
C`
B
A`
Tenemos como condición inicial:
rectángulos en los que:
AC = A 'C '
Demostrar que:
B`
∆ABC
y
y el
< A = < A'
∆A ' B ' C '
son triángulos
∆ABC = ∆A ' B ' C '
Para la demostración colocamos el
∆ABC
sobre el
∆A ' B ' C '
de suerte
que A coincida con A’ y AC tome la dirección A’ C’ .
Entonces C caerá sobre C’.
Se supone que
AC = A 'C '
Entonces AB tomará la
< A =< A '
dirección A’ B’.
Son ángulos rectos.
< B =< B '
CB = C ' B '
De un punto exterior a una recta
puede bajarse una sola perpendicular.
.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
89
GEOMETRIA PLANA
UNIVERSIDAD DE CUENCA
Por lo tanto:
FACULTAD DE FILOSOFÍA
Dos figuras cualesquiera son iguales
cuando pueden hacerse coincidir en
todos sus puntos
∆ABC = ∆A ' B ' C '
l. q. q. d
5.4
RECTAS PARALELAS Y SECANTES
RECTAS PARALELAS.-
Son aquellas que se encuentran en un
mismo plano y no se encuentran por más que se las prolongue,
guardan siempre una misma distancia entre si.
TRANSVERSAL O SECANTE.- Es aquella recta que corta a una o
más rectas sin importar el punto de intersección y la dirección de
dichas rectas.
TEOREMA 16.-
Dos rectas situadas en un mismo plano y
perpendiculares a una tercera son paralelas.
X
A
B
C
D
Y
Tenemos AB y CD dos rectas perpendiculares a otra recta XY.
Demostrar que:
AB
CD
Para la demostración si AB y CD prolongadas se encontrarían en
un punto, se tendrían dos perpendiculares bajadas de un mismo punto
a una recta. Lo cual es imposible (según el grafico).
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
90
GEOMETRIA PLANA
UNIVERSIDAD DE CUENCA
FACULTAD DE FILOSOFÍA
Por lo tanto podemos afirmar que AB y CD no pueden encontrarse
o sea que:
AB
CD
l. q. q. d
Dos rectas paralelas a una
paralelas entre sí.
COROLARIO:
tercera son
5.5 ANGULOS FORMADOS POR UNA TRANSVERSAL.TEOREMA 17.-
Si dos paralelas son cortadas por una transversal
los ángulos alternos internos son iguales.
M
X
P
A
B
O
Q
C
N
D
Y
Tenemos
AB
CD
cortadas por una transversal XY en los
puntos P y Q.
Demostrar que:
< APQ =< DQP
Para la demostración trazamos la recta MN por O punto medio de
PQ y a la vez perpendicular a
CD.
Si dos rectas son paralelas toda
perpendicular a una de ellas es
perpendicular a la otra.
MN ⊥ AB
Entonces tenemos:
< OMP =< ONQ
⊥
a las rectas AB y CD.
Los ángulos opuestos por el
vértice son iguales.
< POM =< QON
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
MN es
91
GEOMETRIA PLANA
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FACULTAD DE FILOSOFÍA
Por construcción. O punto medio de PQ.
OP = OQ
Dos triángulos rectángulos son
iguales
si
tienen
iguales
respectivamente la hipotenusa y
uno de los ángulos adyacentes a
ella.
Por Teorema 11 tenemos:
∆PMO = ∆QNO
Partes homologas
figuras iguales.
Finalmente podemos afirmar:
de
l. q. q. d
< APQ =< DQP
Si dos rectas situadas en un mismo plano forman
con una transversal ángulos alternos internos
iguales, esas rectas son paralelas.
COROLARIO.TEOREMA 18.-
Si dos paralelas son cortadas por una transversal,
los ángulos correspondientes son iguales.
X
P
A
B
Q
C
D
Y
Tenemos AB
CD cortadas por la transversal XY en los puntos
P y Q.
Demostrar:
Ángulos opuestos por el vértice.
< BPX =< APQ
Ángulos alternos internos.
< APQ =< DQX
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
< BPX =< DQX
92
GEOMETRIA PLANA
UNIVERSIDAD DE CUENCA
FACULTAD DE FILOSOFÍA
.
Dos
cantidades
iguales a una tercera
son iguales entre sí
Entonces podemos afirmar:
< BPX =< DQX
l. q. q. d
COROLARIO 1.-
Si dos rectas situadas en un plano forman con una
transversal ángulos correspondientes iguales, esas dos rectas
son paralelas.
COROLARIO 2.-
Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos
alternos externos son iguales.
5.6 SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO
TEOREMA
19.-
La suma de los tres ángulos internos de un
triángulo es igual a dos rectos (180 0 ).
B
Y
A
X
C
Tenemos ABC un triángulo cualquiera.
Demostrar:
< A+ < B + C = 2 rectos
< A+ < B + < C = 180 0
Para la demostración trazamos CY
hasta X.
y prolongamos AC
Ángulos de lados colineales.
< XCY + < YCB+ < BCA = 2 Re ctos.
Por el Teorema 14 tenemos:
< A =< YCB
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
AB
93
Si dos paralelas son cortadas por
una transversal los ángulos
correspondientes son iguales.
GEOMETRIA PLANA
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FACULTAD DE FILOSOFÍA
También por el Teorema 13 tenemos:
< B =< YCB
Entonces podemos afirmar:
Si dos paralelas son
cortadas
por
una
transversal los ángulos
alternos
internos
son
iguales.
< A+ < B + < C = 2 Re ctos = 180 0
l. q. q. d
Todo triángulo no puede tener más de un
ángulo recto ni más de un ángulo obtuso.
COROLARIO 1.-
Si dos ángulos de un triángulo son respectivamente
iguales a dos ángulos de otro, el tercer ángulo del uno
es igual al tercer ángulo del otro.
COROLARIO 2.-
Todo ángulo externo de un triángulo es igual a la suma
de los internos opuestos, y por lo tanto mayor que cada
uno de los dos.
COROLARIO 3.-
5.7 RELACIONES ENTRE LOS LADOS Y LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO.
TEOREMA 20.- La suma de dos lados cualesquiera de un triángulo
es mayor que el tercer lado y la diferencia siempre es menor.
B
A
C
Tenemos AC lado mayor del
∆ABC.
AB + BC > AC
Demostrar:
AC − BC < AB
Resolviendo tenemos:
El camino más corto entre dos
puntos es la recta que los une.
AB + BC > AC
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
94
GEOMETRIA PLANA
UNIVERSIDAD DE CUENCA
FACULTAD DE FILOSOFÍA
Despejando la desigualdad anterior tenemos:
Entonces podemos afirmar:
TEOREMA 21.-
BC > AC − AB
l. q. q. d
AC − AB < BC
Si dos lados de un triángulo son desiguales a
mayor lado se opone mayor ángulo.
C
X
A
B
ABC es un triángulo en el que:
Demostrar que:
BC > AC
< BAC 〉 < ABC
Para la demostración trazamos AX haciendo que
AC = AX
Entonces tenemos el ∆ACX es Isósceles.
Dos de sus lados son iguales.
Por el Teorema 3 :
En todo triángulo Isósceles los
ángulos opuestos a los lados
iguales son iguales.
< CXA = < XAC
A lo cual sigue:
< CXA 〉 < XBA
Todo ángulo externo de un
triángulo es mayor que cualquiera
de los internos opuestos.
El todo es mayor que
cualquiera de sus partes.
También tenemos:
< BAC 〉 < XAC
Remplazando por su igual tenemos:
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
95
< XAC = < CXA
GEOMETRIA PLANA
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FACULTAD DE FILOSOFÍA
< BAC 〉 < CXA
Ángulo externo.
< CXA 〉 < XBA
Si una cantidad es mayor que otra y
esta a su vez mayor que una tercera,
la primera es mayor que la tercera.
Entonces tenemos:
< BAC 〉 < XBA
l. q. q. d
TEOREMA 22.-
Si dos ángulos de un triángulo son desiguales a
mayor ángulo se opone mayor lado.
B
C
A
Condición inicial:
Tenemos que ABC es un triángulo en el que
< A 〉<C
BC 〉 AB
Demostrar que:
Para la demostración hay tres posibilidades del lado BC respecto de
su opuesto.
1) BC = AB
1)
2)
BC 〈 AB
AB 〉 BC
3)
BC 〉 AB
AB 〈 BC
BC = AB
Lo ángulos A y C serían iguales.
2)
AB 〉 BC
<C〉< A
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
Teorema 3.
Si dos lados de un triángulo son desiguales a
mayor lado se opone mayor ángulo.
96
GEOMETRIA PLANA
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3)
FACULTAD DE FILOSOFÍA
BC 〉 AB
Tenemos que BC no puede ser igual a AB ni menor que AB
necesariamente tenemos:
BC 〉
5.8
l. q. q. d
AB
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
TEOREMA 23.- Si dos lados de un triángulo son respectivamente
iguales a dos lados de otro, y el ángulo comprendido por los dos
primeros es mayor que el comprendido por los dos segundos, el
tercer lado del primer triángulo es mayor que el tercer lado del
segundo.
C
X
Y
A
B
Z
Tenemos ABC y XYZ dos triángulos en los que:
AC = XY
BC = XZ
<C 〉< X
Demostrar que:
AB 〉 YZ
Para la demostración colocamos el
∆XYZ
que XY coincida con su igual
AC como muestra el siguiente
sobre el
∆ABC
de modo
grafico.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
97
GEOMETRIA PLANA
UNIVERSIDAD DE CUENCA
FACULTAD DE FILOSOFÍA
C
A
P
B
< YCB ,
luego trazamos PY.
Y
Trazamos CP bisectriz del
CP = CP
Entonces tenemos:
Por construcción.
CY = CB
Condición inicial.
< YCP = < PCB
Por construcción.
Por el Teorema 6:
∆PYC = ∆PBC
Por lo tanto:
PY = PB
Luego:
Si dos lados de un triángulo y el
ángulo
comprendido
son
respectivamente iguales a dos lados
y el ángulo comprendido de otro
triángulo, los dos triángulos son
iguales.
Las partes homologas de dos
figuras congruentes son iguales.
AP + PY 〉 AY
El camino más corto entre dos puntos
es la recta que los une.
AP + PB 〉 AY
Toda
cantidad
puede
reemplazarse con
su igual.
AB 〉 AY
Entonces podemos afirmar:
AB 〉 XY
l. q. q. d
TEOREMA 24.- Si dos lados de un triángulo son respectivamente
iguales a dos lados de otro triángulo, y el tercer lado del primer
triángulo es mayor que el tercer lado del segundo, el ángulo opuesto al
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
98
GEOMETRIA PLANA
UNIVERSIDAD DE CUENCA
FACULTAD DE FILOSOFÍA
tercer lado es mayor en el primer triángulo que en el segundo
triángulo.
C
Z
A
B
X
Y
Sean ABC y XYZ dos triángulos en los que tenemos las siguientes
condiciones iniciales:
AC = XZ
BC = YZ
AB 〉 XY
Demostrar:
<C〉<Z
Para la demostración tenemos tres casos posibles:
1)
<C
2)
<C 〈 <Z
= <Z
3) < C 〉 < Z
1) Analizando el primer caso
El
∆ABC
sería igual al
∆XYZ .
AB sería igual a XY.
2) Si
<C
= <Z
Teorema
Partes homologas de figuras congruentes son
iguales.
<C 〈 <Z
Por el Teorema 19 :
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
AB sería menor que XY.
99
AB < XY
GEOMETRIA PLANA
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FACULTAD DE FILOSOFÍA
Las conclusiones anteriores son contrarias al supuesto de que
AB > XY ,
tenemos que <C no puede ser igual, ni menor a <Z.
Por lo tanto concluimos:
l. q. q. d
<C 〉 <Z
TEOREMA 25.-
Toda recta paralela a uno de los lados de un
triángulo,
a
divide
los
otros
dos
lados
en
segmentos
proporcionales.
B
E
F
A
C
Sea ABC un triángulo y EF
Demostrar:
EB
AE
=
AC.
FC
BF
Para la demostración dividimos BE y AE en n partes y
trazamos paralelas, luego hacemos lo mismo con CF y FB.
Entonces tenemos:
Luego:
EB
AE
=
EB
AE
FC
BF
TEOREMA RECIPROCO.-
=
m
n
FC
BF
y
Propiedad Transitiva.
=
m
n
l. q. q. d
Si una recta divide dos lados de un
triángulo en partes proporcionales, dicha
recta es paralela al tercer lado.
TEOREMA 26.- Si dos triángulos son mutuamente equiángulos
son semejantes.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
100
GEOMETRIA PLANA
UNIVERSIDAD DE CUENCA
FACULTAD DE FILOSOFÍA
C
A`
C`
B`
A
A`
B`
B
ABC y A’ B’ C’
son dos triángulos en los que tenemos como
condiciones iniciales:
< A = < A' ; < B = < B '
Demostrar que:
AB
=
A' B '
BC
=
B 'C '
Para la demostración colocamos el
modo que C’ caiga sobre C
y
< C = < C'
AC
A 'C '
sobre el
∆A ' B ' C '
∆ABC
y A’ C’ tome la dirección de AC
y CB tome la dirección de C’ B’.
Si tenemos:
A’ B’
< A = < A'
AB
y
< B = < B'
En su nueva posición.
Por el Teorema 25 tenemos:
AC
BC
=
A 'C ' B 'C '
Toda recta paralela a
uno de los lados de un
triángulo divide a los
otros dos en segmentos
proporcionales.
l. q. q. d
COROLARIO 1:
Dos triángulos son semejantes si dos ángulos del
uno son respectivamente iguales a dos ángulos de
otro triángulo.
COROLARIO 2:
Dos triángulos rectángulos son semejantes si
tienen igual un ángulo agudo
.
COROLARIO 3:
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
Si los tres lados de un triángulo son
respectivamente proporcionales a los de otro, los
dos triángulos son semejantes.
101
de
GEOMETRIA PLANA
UNIVERSIDAD DE CUENCA
FACULTAD DE FILOSOFÍA
TEOREMA 27.- En todo triángulo, el cuadrado de un lado opuesto
a un ángulo agudo, es igual a la suma de los cuadrados de los otros
dos lados, menos el doble producto de uno de ellos por la proyección
del otro sobre él.
= b 2 + c 2 − 2b' c
a2
Tenemos el triángulo ABC; en el cual a, b y c son sus lados y b’
las proyecciones de a y b respectivamente sobre c.
Para la demostración tenemos que: a' = (c − b' ) En el lado AB.
Elevando al cuadrado los dos miembros tenemos:
= (c − b' ) 2
(a' ) 2
(a' ) 2 = c 2
Luego sumamos
h2
(a' ) 2
− 2b' c + (b' ) 2
a los dos miembros:
+ h2
= c2
− 2b' c + (b' ) 2
+ h2
Analizando la figura observamos que:
(a' ) 2
+ h2
= a2
(b' ) 2
+ h2
= b2
Entonces reemplazando tendremos:
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
102
GEOMETRIA PLANA
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FACULTAD DE FILOSOFÍA
= c2
a2
− 2b' c + b 2
Y ordenando obtendremos la formula pedida en el teorema.
=
2
a
+
b2
−
c2
2b 'c
l. q. q. d
TEOREMA 28.-
En todo triángulo obtusángulo, el cuadrado del
lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de
los otros dos, más el doble producto de uno de ellos por la proyección
del otro lado sobre el.
Tenemos el
∆ ABC
es obtusángulo y observamos que: a’ y b’ son
las proyecciones de a y b respectivamente sobre c.
DEMOSTRAR:
a
=
2
Para la demostración tenemos:
b
2
+
c
2
+
2b'c
En el lado BC.
a' = (b' + c)
Elevando al cuadrado los dos miembros tenemos:
(a' ) 2
(a' ) 2
Luego sumamos
h2
(a' ) 2
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
= (b' + c) 2
= (b' ) 2
+ 2b' c + c 2
a los dos miembros:
+ h2
= (b' ) 2
103
+ 2b' c + c 2
+ h2
GEOMETRIA PLANA
UNIVERSIDAD DE CUENCA
FACULTAD DE FILOSOFÍA
Luego observando y analizando los dos triángulos ADC y
BDC
son semejantes entonces tendremos:
(a' ) 2
+ h2
= a2
(b' ) 2
+ h2
= b2
Reemplazando podemos afirmar:
a
2
=
b
2
TEOREMA 29.-
+
c
+
2
l. q. q. d
2b'c
El área de un triángulo es igual a la raíz cuadrada
del producto del semiperímetro multiplicado por tres factores, cada
uno de los cuales es la diferencia entre el semiperímetro y cada uno
de los lados.
Tenemos el
∆ ABC
en el cual a, b y c son sus lados.
=
A
DEMOSTRAR:
s ( s − a )( s − b )( s − c )
Para la demostración prolongamos el lado AB hasta D. Luego
trazamos la altura
h ⊥ AD
Entonces tenemos:
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
A =
c·h
2
104
Formula elemental. (demostrada )
GEOMETRIA PLANA
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Observando tenemos el triángulo rectángulo ADC en el cual por
Pitágoras tenemos:
= b2
h2
En el
∆ ABC
(1)
− ( AD) 2
por el Teorema 23 tenemos:
= b2
a2
+ c2
(2)
− 2cAD
Despejando AD de la ecuación (2) tenemos:
b2
AD =
+ c2 − a2
2c
Reemplazando en la ecuación (1) tenemos:
h
2
= b
2
h
2
= b
2
⎡b2 + c2 − a2 ⎤
− ⎢
⎥
2c
⎣
⎦
−
(b
2
+ c2 − a2
4c 2
2
)
2
h2
=
4b 2 c 2 − (b 2 + c 2 − a 2 ) 2
4c 2
h2
=
(2bc) 2 − (b 2 + c 2 − a 2 ) 2
4c 2
Aplicando diferencia de cuadrados obtendremos:
h2
⎡ (2bc + b 2 + c 2 − a 2 )(2bc − b 2 − c 2 + a 2 ) ⎤
=⎢
⎥
4c 2
⎣
⎦
Ordenando tendremos dos trinomios cuadrados perfectos.
h2
h
2
=
=
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
(b 2 + 2bc + c 2 − a 2 )(a 2 − b 2 + 2bc − c 2 )
4c 2
[(b
2
][
+ 2bc + c 2 ) − a 2 a 2 − (b 2 − 2bc + c 2 )
4c 2
105
]
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Factorando los dos trinomios cuadrados perfectos tendremos:
[(b + c)
=
h2
2
][
]
− a 2 a 2 − (b − c) 2
4c 2
Aplicando diferencia de cuadrados obtendremos:
h2
[(b + c + a)(b + c − a)][(a + b − c)(a − b + c)]
=
4c 2
Ahora tenemos la siguiente condición:
2s = (a + b + c)
Utilizando la condición anterior vamos
deducciones:
a obtener las siguientes
a+b−c
=
a + b + c − c − c = (2s − 2c) = 2( s − c)
b+c−a
=
a + b + c − a − a = (2s − 2a) = 2( s − a)
a+c−b
=
a + b + c − b − b = (2s − 2b) = 2( s − b)
Luego reemplazando obtenemos:
h2
Ahora despejamos
c2
2s[2( s − a) · 2( s − b) · 2( s − c)]
4c 2
=
h2
=
16 s ( s − a)( s − b)( s − c)
4c 2
h2
=
4 s ( s − a)( s − b)( s − c)
c2
y 4,
h2 · c2
4
entonces tendremos:
= s ( s − a )( s − b)( s − c)
Extrayendo la raíz cuadrada en cada miembro obtendremos:
h2 · c2
4
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
=
106
s ( s − a)( s − b)( s − c)
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h·c
2
=
s ( s − a)( s − b)( s − c)
Observando la figura apreciamos fácilmente que el área del triángulo
será:
A =
Toda cantidad
obtendremos:
puede
A
=
h·c
2
reemplazarse
por
su
igual,
entonces
s ( s − a )( s − b )( s − c )
l. q. q. d
5.9
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- En el triángulo ABC la altura mide 15 cm. y la base mide 30 cm.
El punto D esta a 8 cm. de la base. Determinar el área de la región
sombreada.
Tenemos dos triángulos:
la altura
AB = 30 cm
∆ ABC
en el cual base
CE = 15 cm y el
∆ ABD
AB = 30 cm
en el cual tenemos la base
y la altura DO = 8 cm.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
107
y
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Tenemos que determinar el área de la región ADBC, para encontrar
dicha área tenemos que restar el área del
∆ ABC
menos el área del
∆ ABD .
A ∆ ABC −
A ∆ ABD =
b·h
2
−
b·h
2
=
A.
AB · CE
2
−
AB · DO
2
=
30 cm · 15 cm
2
225 cm 2
−
30 cm · 8 cm
2
− 120 cm 2
=
A. ACBD
ACBD
A. ACBD
=
A. ACBD
A. ACBD
A. ACBD = 105 cm 2
2.-
Hallar la longitud de la mediana MB
correspondiente a la
hipotenusa AC de un triángulo rectángulo ABC si la longitud de
AC es 60 m.
Tenemos M el punto medio de la hipotenusa AC.
MA = MB = MC.
El punto medio de la hipotenusa equidista de
los vértices del triángulo.
Entonces tendremos:
MB =
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
108
60 m
2
= 30 m
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3.- Si las medianas de un triángulo ABC se cortan en D. Hallar la
longitud de la mediana cuyo segmento menor es 6 m.
Tenemos P, Q y R los puntos medios de AB, BC y
AC
respectivamente y D el punto de intersección ( Baricentro).
El baricentro esta ubicado a
2
3
de cada vértice.
Entonces tendremos:
PD =
PC
3
y
DC =
2 PC
3
PD = 6 m
PC = 6m · 3
PC
= 18 m
4.- Si el lado de un triángulo se duplica y la altura correspondiente a
dicho lado se reduce a la mitad. Determinar que ocurre con el área.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
109
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A1
b·h
2
=
(fig. 1)
Ahora tomando en cuenta las condiciones del problema. (fig. 2)
A2
Entonces tenemos que:
CONCLUSION:
=
2b·h
2·2
A1
=
=
b·h
2
A2
El valor del área de un triángulo no cambia si se
duplica un lado y su altura correspondiente se reduce a la mitad.
5.-
El área de un triángulo rectángulo es de
85 m 2
y uno de sus
catetos mide 15 m.
Calcular su perímetro.
Tenemos el triángulo rectángulo RST, en el cual RS
catetos; ST = 15 m.
Conocemos los siguientes datos:
A = 85 m 2
b = RS,
y
ST sus
h = ST = 15 m
y
Aplicando la formula elemental para encontrar el área de un triángulo
tenemos:
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
110
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b·h
=
2
RS · ST
2
A =
A =
RS · 15 m
2
=
85 m 2
2 · 85 m 2
15 m
RS
RS · ST
2
= RS
= 11 ,33 m
Para encontrar la hipotenusa ST aplicamos el teorema de Pitágoras:
RT
=
RS 2
+ ST 2
RT
=
(11 , 33 m) 2
RT
=
353 , 37 m 2
+ (15 m) 2
Para hallar el perímetro aplicamos:
RT
= 18 , 8 m
P = ST
+ RS
+ RT
P = 15 m + 11 , 33 m + 18 , 8 m
P = 45 , 13 m
6.- En un triángulo Isósceles los lados iguales miden 40 m cada
uno y su base mide 22 m. Calcular el valor del área.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
111
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ABC es un triángulo Isósceles en el que: AC = BC = 40 m y CM
su altura M punto medio de la base AB.
Utilizando Pitágoras en el triángulo BCM tenemos:
=
CM
CB 2
− BM 2
CM
=
(40 m) 2
− (11 m) 2
CM
=
1600 m 2
− 121 m 2
CM
=
1479 m 2
CM
= 38 , 45 m = h
Como tenemos todos los datos necesarios para encontrar el área
aplicamos:
A =
A =
5.10
1.-
b·h
2
=
AB · CM
2
22 m · 38 , 45 m
2
A = 84 , 59 m 2
EJERCICIOS PROPUESTOS
En un triángulo rectángulo hallar la longitud de la mediana
correspondiente a la hipotenusa, si la longitud de esta es de 50 cm.
2.-
En un triángulo rectángulo calcular la longitud de la hipotenusa
si la mediana correspondiente a esta mide 24 cm.
3.-
Si las medianas de un triángulo RST se cortan en B, hallar la
longitud de la mediana cuyo segmento menor es 9 cm
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
112
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4.- En un triángulo escaleno sus lados miden 32 cm, 28 cm y 20
cm. Calcular la longitud de las tres medianas.
5.- El área de un triángulo rectángulo es
y uno de sus catetos
80 cm 2
mide 12 cm. Calcular su perímetro.
6.- Un triángulo equilátero mide 32 cm de lado. Calcular su área.
7.- Un triángulo equilátero tiene una superficie de
232 m 2 .
Calcular
la longitud de sus lados.
8.- En un triángulo escaleno sus lados miden 42 m, 38 m y 30 m.
Calcular su área.
9.- En un triángulo escaleno dos de sus lados miden 12 m y 16 m.
El área de dicho triángulo es de
4208 m 2 .
Calcular el perímetro.
10.- Los lados de un triángulo miden 3X, 4X y 5X , además su
área es igual a
6 X 2.
Determinar el valor de X y luego la longitud
de cada uno de sus lados.
11.-
En el triangulo EFG, la base mide 40 cm y la altura
correspondiente a ella mide 15 cm. El punto D esta a 9 cm de la
base. Determinar el área de la región sombreada.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
113
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12.En el siguiente triángulo isósceles encontrar el área del
triángulo.
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
114
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BIBLIOGRAFIA
Galvis, A. “Ambientes de enseñanza – aprendizaje enriquecidos con
computador”, Boletín de Informática Educativa, Proyecto SIIE,
Colombia, Vol 1, Num. 2, pags. 117 – 139, 1998.
Saudela, N. “Propensiones en la enseñanza de las ciencias: El
escenario del próximo milenio”. Tosal. Revista Interdepartamental de
Investigación Educativa 1: 11-23, 1992.
Ogalde I y Bardavid E. “ Los Materiales Didácticos: Medios y
recursos de apoyo a la docencia”. Editorial Trillas S. A., México D.F.,
pags. 76 – 77, 1991.
Libedinsky M.
“La innovación en la enseñanza: Diseño y
documentación de experiencias en el aula”. Editorial Paidos. Buenos
Aires. Pags. 27 – 28. 2001.
García González, E. et. al. Recomendaciones para el huso de la
computadora en el proceso de estudio. Departamento de Informática
Universidad de Matanzas, Cuba.
Torrano, E. et. al., Introducción a las matemáticas con computadoras,
Universidad Politécnica de Madrid, 1991.
A. Baldor, “Geometría y Trigonometría”, Editorial Ultra S.A. de C.
V., México, 1995.
Wentworth y Smith, “Geometría Plana y del Espacio”, Editorial
Porrua, S.A. México D. F. 1974.
DIRECCIONES EN INTERNET
www.utp.ac.pa/articulos/ensenarmatematica.html
www.asymetrix.com
www.jalisco.gob.mx/srias/educacion/7alberto.html
www.mailbase.ac.uk/lists-p-t/toolbook
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
115
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GLOSARIO
Baricentro.- Punto en el cual se cortan las tres medianas de un
triángulo.
Circuncentro.- Punto en el cual se intersecan las tres mediatrices de
un triángulo.
Congruencia.- Nos referimos cuando dos figuras son iguales o se las
puede hacer coincidir en todos sus puntos.
Consecutivos (as).- Son aquellos números (letras) seguidos (as), es
decir los que están uno a continuación del otro.
Hipotenusa.- Se la designa al lado opuesto al ángulo recto en todo
triángulo rectángulo.
Incentro.- Este punto equidista de los tres lados de un triángulo y en
donde se cortan las tres bisectrices de un triángulo.
Interseca.- Cuando dos o mas rectas se cruzan o pasan por un mismo
punto.
Intuitivas.-
Ideas
rápidas
sobre
alguna
regla
o
propiedad,
fundamentadas en la previa experiencia o conocimiento.
Lado común.- Es el lado que siempre pertenece a dos figuras
cualquiera, es decir nos sirve para las dos figuras.
Ortocentro.- Punto en el cual se intersecan las tres alturas de un
triángulo.
Secante.- Es cualquier recta que corta a una o más rectas sin importar
el punto de intersección y la dirección de dichas rectas.
Semiperímetro.- El perímetro de cualquier figura dividido para dos.
Semiproducto.- Es la multiplicación de n cantidades divididas para
dos.
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116
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SIMBOLOS UTILIZADOS EN ESTE TRABAJO
1)
<
ángulo
2)
=
igual
3)
⊥
perpendicular
4)
∆
triángulo
5)
s
semiperímetro
6)
≈
semejantes
7)
A
área
8)
h
altura
9)
d
diagonal
10)
〈
mayor que
11)
menor que
〉
12)
∴
13)
18)
por lo tanto
paralelas
14)
P
15)
b
base
16)
O
Ortocentro
17)
B
Baricentro
I
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
perímetro
Incentro
117
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INDICE
Introducción…………………………………………………..pag. 1
Capitulo 1
Recomendaciones generales para manejar el presente trabajo..pag. 3
Capitulo 2
PRINCIPALES ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA PLANA
2.1
Definición……………………………………………pag. 08
2.1.1 Sólido Geométrico……………………………………pag. 08
2.2
Elementos no definidos de la Geometría……………..pag. 08
2.2.1 El punto………………………………………………..pag. 08
2.2.2 Línea…………………………………………………...pag. 08
2.2.3 Planos…………………………………………………...pag. 08
2.2.4 Generación de figuras geométricas……………………..pag. 09
2.3
Figuras iguales, semejantes y equivalentes…………….pag. 09
2.4
Clases de líneas…………………………………………pag. 11
2.5
Rectas, semirrectas y segmentos de recta………………pag. 11
2.6
Operaciones con segmentos de recta……………………pag. 12
2.6.1 Suma de dos o más segmentos de recta………………….pag. 12
2.6.2 Resta o diferencia de dos segmentos…………………….pag. 12
2.6.3 Producto de un escalar por un vector……………………pag. 13
2.7
Posiciones relativas entre dos rectas……………………pag. 13
2.7.1 Paralelas…………………………………………………pag. 13
2.7.2 Secantes………………………………………………….pag. 13
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
118
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2.7.3 Perpendiculares………………………………………pag. 13
2.7.4 Superpuestas…………………………………………pag. 14
2.8
Ángulos……………………………………………..pag. 14
2.8.1 Clases de ángulos……………………………………pag. 15
2.9
Relaciones entre dos ángulos……………………… pag. 16
2.9.1 Ángulos
Iguales………………………………………………pag. 16
2.9.2 Ángulos adyacentes…………………………………pag. 16
2.9.3 Ángulos
complementarios…………………………………….pag. 16
2.9.4 Ángulos
suplementarios………………………………………pag 17
2.9.5 Ángulos opuestos por el vértice……………………..pag. 17
2.9.6 Ángulos conjugados…………………………………pag.17
2.10
Operaciones con ángulos………………………....pag. 18
2.10.1
Suma de ángulos……………………………….pag. 18
2.10.2
Diferencia de dos ángulos……………………...pag. 18
2.11
Ángulos formados por una transversal…………….pag. 19
2.12
Medida de un ángulo……………………………….pag. 20
2.13
Propiedades de las igualdades……………………..pag. 20
2.14
Propiedades de las desigualdades………………….pag. 21
2.15
Segmentos proporcionales…………………………pag. 22
2.15.1
Razón de dos segmentos………………………...pag. 22
2.15.2
Segmentos proporcionales………………………pag. 22
2.16
Teorema fundamental de la proporcionalidad en los
triángulos………………………………………………..pag. 23
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
119
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2.16.1
Representación…………………………………pag. 23
2.16.2
Términos………………………………………..pag. 25
2.16.3
Proporción continua…………………………..pag. 25
2.17
Ejercicios resueltos………………………………pag. 26
2.18
Ejercicios propuestos…………………………….pag. 30
Capitulo 3
TRIANGULOS
3.1 Clasificación de los triángulos según los lados……….pag 32
3.2 Clasificación de los triángulos por los ángulos……….pag. 32
3.3 Partes homologas……………………………………...pag. 34
3.4 Congruencia……………………………………………pag. 34
3.5 Rectas notables de un triángulo………………………..pag. 34
3.6 Mediatriz……………………………………………….pag. 36
3.7 Bisectriz………………………………………………...pag. 37
3.8 Formulas para el cálculo de ángulos, lados, perímetros y
áreas…………………………………………………….pag. 37
3.8.1 Angulo externo…………………………………………pag. 37
3.8.2 Suma de los ángulos interiores de un triángulo………...pag.38
3.8.3 Suma de los ángulos exteriores de un triángulo………..pag 38
3.8.4 Perímetro……………………………………………….pag. 38
3.9 Área de un triángulo…………………………………….pag. 39
3.10 Teorema de Pitágoras…………………………………...pag. 40
3.11 Ejercicios resueltos……………………………………...pag. 42
3.12 Ejercicios
propuestos………………………………………………pag. 46
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Capitulo 4
CUADRILATEROS
4.1 Elementos de los cuadriláteros………………………pag. 47
4.2 Clasificación de los cuadriláteros……………………pag. 47
4.3 Rectas notables de los cuadriláteros…………………pag. 48
4.4 Propiedades de los paralelogramos………………….pag. 49
4.5 Cuadriláteros especiales……………………………..pag. 50
4.6 Cuadriláteros semejantes……………………………pag. 51
Teorema 1……………………………………………pag. 51
4.7 Áreas de los cuadriláteros……………………………pag. 52
Teorema 2…………………………………………….pag. 52
Teorema 3…………………………………………….pag. 53
Teorema 4…………………………………………….pag. 54
Teorema 5…………………………………………….pag. 54
4.8 Ejercicios resueltos…………………………………...pag. 56
4.9 Ejercicios propuestos…………………………………pag. 63
Capitulo 5
TEOREMAS BASICOS DE GEOMETRIA
5.1 Criterios de igualdad. Teoremas………………………pag. 67
Teorema 6……………………………………………..pag. 67
Teorema 7……………………………………………..pag. 68
Teorema 8……………………………………………..pag. 68
Teorema 9……………………………………………..pag. 69
Pedro Geovanny Pintado Peñaloza
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5.2 Rectas perpendiculares y oblicuas………………...pag. 71
Teorema 10………………………………………..pag. 71
Teorema 11………………………………………..pag. 72
Teorema 12………………………………………..pag. 72
Teorema 13………………………………………..pag. 74
5.3 Igualdad de triángulos rectángulos………………..pag. 75
Teorema 14………………………………………..pag. 75
Teorema 15………………………………………..pag. 76
5.4 Rectas paralelas y secantes………………………...pag. 77
Teorema 16………………………………………..pag. 77
5.5 Angulos formados por una transversal…………….pag. 78
Teorema 17………………………………………..pag. 78
Teorema 18………………………………………..pag. 79
5.6 Suma de los ángulos interiores de un triángulo…....pag. 80
Teorema 19………………………………………..pag. 80
5.7 Relaciones
entre
los
lados
y
los
ángulos
de
triángulo……………………………………………pag. 81
Teorema 20………………………………………..pag. 81
Teorema 21………………………………………..pag. 82
Teorema 22………………………………………..pag. 83
5.8
Triángulos semejantes……………………………pag. 83
Teorema 23……………………………………....pag. 83
Teorema 24………………………………………pag. 85
Teorema 25………………………………………pag. 86
Teorema 26………………………………………pag. 87
Teorema 27………………………………………pag. 88
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Teorema 28……………………………………….pag. 89
Teorema 29……………………………………….pag. 90
5.9
Ejercicios resueltos……………………………...pag. 93
5.10 Ejercicios propuestos………………………………..pag. 98
- Bibliografía………………………………………….pag. 100
- Glosario……………………………………………..pag. 101
- Símbolos utilizados en este trabajo…………………pag. 102
- Indice………………………………………………..pag.103
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