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Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados
determinado por tres segmentos de tres rectas que se cortan,
denominados lados (Euclides); o tres puntos no alineados
llamados vértices. También puede determinarse un triángulo
por cualesquiera otros tres elementos relativos a él, como por
ejemplo un ángulo y dos medianas; o un lado, una altura y
una mediana.
Si está contenido en una superficie plana se denomina
triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo
de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se
denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía,
sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.
Convención de escritura
Un triángulo llamado ABC
Los puntos principales de una figura geométrica, como los vértices de un polígono,
suelen ser designados por letras latinas mayúsculas: A, B, C, ...
Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, nombrando
sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. El orden de citación de los vértices es
irrelevante, porque todos los segmentos de los que estos vértices son los extremos, son
los lados del triángulo.
Los lados del triángulo, son llamados, como todos los segmentos, por sus extremos: AB,
BC y AC, en nuestro ejemplo.
Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice
opuesto, convertido a minúscula latina: a para BC, b para AC, c para AB.
La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ que comparten el
extremo O es
También podemos utilizar una letra minúscula, griega lo más a menudo, coronada por
un acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas
y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los
dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos
lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de ambigüedad, ser designado por el
nombre del vértice común, coronado por un acento circunflejo. En resumen, en nuestro
ejemplo, podemos observar los ángulos:
Clasificación de los triángulos
Los triángulos se pueden clasificar por la longitud de sus lados o por la amplitud de sus
ángulos.
Por la longitud de sus lados
Por la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en:



Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres
ángulos internos miden 60 grados ó
radianes.)
Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se
oponen a estos lados tienen la misma medida.
Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un
triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Por la amplitud de sus ángulos
Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:



Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados
que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los
otros dos son agudos (menor de 90°).
Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo
equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.
Rectángulo
Obtusángulo
Acutángulo
Oblicuángulos
Se llama triángulo oblicuángulo cuando no tiene un ángulo interior recto (90°). Los
triángulos obtusángulos y acutángulos son obtusángulos.
Otras denominaciones
Además, tienen estas denominaciones y características:
Los triángulos acutángulos pueden ser:

Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos
iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura
diferente.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos
diferentes, no tiene ejes de simetría.
Los triángulos rectángulos pueden ser:

Triángulo rectángulo isósceles: con un angulo recto y dos agudos iguales (de
45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados
iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la
altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa.

Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y
ángulos son diferentes.
Los triángulos obtusángulos son:

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales
que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.

Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son
diferentes.
Triángulo equilátero
isósceles
escaleno
acutángulo
rectángulo
obtusángulo
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos tienen la misma amplitud y los lados
opuestos de estos ángulos son proporcionales.



Criterio aa (ángulo, ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes
Criterio lal (lado, ángulo, lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el
ángulo comprendido entre ellos es congruente.
Criterio lll (lado, lado, lado). Si sus tres lados son proporcionales.
Semejanzas de triángulos rectángulos
Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumple con al menos uno de los criterios
siguientes:



Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro.
Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.
Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.
Propiedades de los triángulos
Un tetraedro
Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un polígono
con tres vértices.
Después del punto y el segmento, el triángulo es el polígono más simple. Es el único
que no tiene diagonal. En el espacio, tres puntos definen un triángulo (y un plano). Por
el contrario, si cuatro puntos de un mismo plano forman un cuadrilátero, cuatro puntos
que no estén en el mismo plano no definen un polígono, sino un tetraedro
Por otra parte, cada polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos que
se forman con una triangulación del polígono. El número mínimo de triángulos
necesarios para esta división es n − 2, donde n es el número de lados del polígono. El
estudio de los triángulos es fundamental para el estudio de otros polígonos, por ejemplo
para la demostración del Teorema de Pick.
Centros del triángulo
Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:





Baricentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y
equivale al centro de gravedad
Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa
por los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las
mediatrices de los lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene los
puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan
por el vértice opuesto.
Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los
lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los
ángulos.
Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.
Exincentros: son los centros de las circunferencias exinscritas, aquellas que son
tangentes a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de una
bisectriz interior y dos bisectrices exteriores de los ángulos.
El único caso en que los cuatro primeros centros coinciden en un único punto es en un
triángulo equilátero.