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GUÍA N°1
INSTITUCIÓN EDUCATIVA MAESTRO ARENAS BETANCUR
PROFESORA:
ESTUDIANTE: ________________________________________
GRADO: 9°
FECHA: ________________________
INTRODUCCIÓN
En la siguiente unidad pondrás en práctica los conocimientos adquiridos durante las clases
de geometría, para ello se utilizaremos el aula de sistemas con el software Geogebra y el
Tangram.
Con esta guía didáctica se busca que los estudiantes se adiestren en el tema “homotecias
en el plano”, a través del reconocimiento de las transformaciones dinámicas en el plano y
de razones y proporciones entre áreas y perímetro de una figura; para ello, los
estudiantes desarrollan una serie de actividades mediadas por el software Geogebra y el
Tangram, el cual permitirá la visualización y el análisis de los diferentes movimientos que
puede tener una figura en el plano y la construcción de diferentes polígonos y
visualización de su superficie.
Las actividades planteadas permitirán desarrollar procesos de razonamiento, modelación
y solución de problemas a través de la ubicación de puntos en el plano, identificación de
coordenadas, aplicación de movimientos en el plano de determinadas figuras, descripción
de tipos de movimientos, comprensión de la importancia del orden de una pareja
ordenada, construcción de polígonos y la finalidad de cada movimiento.
1- Fundamentos teóricos:
-sistemas de representación, visualización: El estudio de las figuras geométricas y de sus
elementos, de los movimientos y las transformaciones nos permitirá construir una imagen
del mundo que nos rodea, observar la realidad y el orden en el universo y admirar su
belleza.
1.1- Modelos pedagógico: El trabajo está enmarcado en el modelo pedagógico
constructivista, puesto que la ruta metodológica se relaciona con el descubrimiento y el
hallazgo para llegar a la comprobación o verificación, se propone un diseño de campo que
centra su análisis en los estudiantes como actores de la práctica del tema a estudiar,
permitiéndoles describir una definición en contraste con lo que ocurre en la práctica, con
el fin de realizar una propuesta de interacción entre los actores.
1.2- Estándares:
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
Pensamiento espacial y sistemas geométricos.
 Predigo y comparo los resultados de aplicar transformaciones rígidas (traslaciones,
rotaciones, reflexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre figuras
bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte.
 Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométricos.
 Identifico características de localización de objetos en sistemas de representación
cartesiana y geográfica.

Pensamiento métrico y sistemas de medidas.
 Utilizo técnicas y herramientas para la construcción de figuras planas y cuerpos con
medidas dadas.
 Identifico relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la
misma magnitud.
 Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de estimación.
2) Objetivos: Fortalecer la concentración y motivación de los estudiantes en la
geometría, mediante la aplicación de herramientas tecnológicas.
-Clasificar dentro de las herramientas de la informática cuales son las más relevantes para
mejorar el aprendizaje de la geometría en los estudiantes.
3- Conocimientos previos:
-Comprender el
perpendicularidad.
concepto
de
paralelismo,
ángulo,
segmento,
perímetro,
-clasificar los ángulos de acuerdo a sus medidas.
-Calcular perímetros.
-Identificación de polígonos regulares
-Identificación de las diversas transformaciones que pueden ocurrir en el plano.
4- Secuencia en las Actividades: -Permitir comprender el carácter dinámico de la
geometría a través de las transformaciones.
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-verificar que los ángulos y la relación de proporcionalidad no se altera al rotar una figura.
-Verificar que los ángulos continúan constantes; el valor de los lados se altera
proporcionalmente ya que la proporción entre lados homólogos se conserva.
-Realizar una exposición con los diferentes trabajos realizados por los estudiantes como
estimulo a su creatividad.
.
JUEGO EL TANGRAM
TEMAS:
 Parte de un todo
 perímetro y área de polígonos
LOGROS:
 Describir y argumentar relaciones entre el perímetro y el área de figuras diferentes
cuando es constante una de las dimensiones
 Reconocer significados del número en diferentes contextos (medición, conteo,
comparación, codificación, localización entre otros).
Materiales
Papeles cuadriculados / regla / lápiz / cuestionarios guía
INTRODUCCIÓN
El tangram es un rompecabezas que consta de 7 piezas, consiste en formar siluetas de
figuras con la totalidad de una serie de piezas dadas. Las siete piezas llamadas Tans, que
juntas forman un cuadrado, son las siguientes: “cinco triángulos de diferentes tamaños”,
“un cuadrado”, y “un paralelogramo”. Es un juego que requiere de ingenio, imaginación y,
sobre todo, paciencia. No se conoce con certeza su origen, pero hay quienes suponen que
se inventó en China a principios del siglo XIX, pues las primeras noticias escritas sobre el
tangram datan de esa época y lugar. En 1818 se publicaron libros de tangram en algunos
países de Europa y en Estados Unidos, lo que lo hizo un juego popular y de mucho auge.
El tangram es un gran estímulo para la creatividad y se lo puede aprovechar en la
enseñanza de la matemática para introducir conceptos de geometría plana, y para
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promover el desarrollo de capacidades psicomotrices e intelectuales pues permite ligar de
manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideas
abstractas.
En la enseñanza de la matemática el tangram se puede utilizar como material didáctico
que favorecerá el desarrollo de habilidades del pensamiento abstracto, de relaciones
espaciales, lógica, imaginación, estrategias para resolver problemas, entre muchas otras,
así como un medio que permite introducir conceptos geométricos.
Sus reglas son muy simples:
1. Con dichos elementos, ni uno más ni uno menos, se deben de construir figuras. Es
decir, al momento de formar las distintas figuras no debe quedar ni una de las piezas
sin utilizarse, además que éstas no deben superponerse.
2. El tangram es un juego planimétrico, es decir, todas las figuras deben estar contenidas
en un mismo plano.
Valores y actitudes que se pueden desarrollar.
Con el juego “el tangram” también podemos buscar que los alumnos asuman actitudes y
practiquen valores, mencionaremos algunos, por ejemplo: Responsabilidad, colaboración,
atención, trabajo en equipo, relaciones interpersonales, sentido del orden, comunicación
entre otros.
¿Cómo construir un juego de tangram?
Para empezar sugerimos que los alumnos trabajen en una hoja de cuadrícula chica (es
decir cuadrículas o cuadrados de 0.5cm por lado), pues eso facilitará los cálculos de las
figuras. Si no se trabaja en este tipo de papel, entonces deberá utilizarse una regla, con la
cual realizará las respectivas medidas. Luego continuamos con los siguientes pasos.
¡Empecemos!
Paso 1: Dibuja un cuadrado de 10 cm por lado. (20 cuadritos de la hoja).
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Paso 2: Traza una de las diagonales del cuadrado y la recta que une los puntos medios de
dos lados consecutivos del cuadrado; esta recta debe ser paralela a la diagonal.
Paso 3: Dibuja la otra diagonal del cuadrado y llévala hasta la segunda línea.
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Paso 4: La primera diagonal que trazaste deberás partirla en cuatro partes iguales. (Cada
pedacito medirá 5 cuadritos).
Paso 5: Traza la recta que se muestra en el dibujo siguiente (dibujo 5)
La recta que debes trazar
Paso 6: Por último traza esta otra recta (la de la figura 6)
6
Traza esta otra recta
Paso 7 Ahora deberás graduar el tangram haciendo marcas de 1cm (o de dos cuadritos) tal
y como se muestra en el dibujo siguiente. Para marcar las diagonales necesariamente
deberás usar una regla
Paso 8: Por último recortamos las piezas, de tal manera que obtengamos lo que se
presenta en la siguiente figura.
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¡Listo! Ya tienes tu propio juego del Tangram.
ACTIVIDADES PROPUESTAS CON EL TANGRAM
1. Forma triángulos con las piezas del tangram. Utiliza primero una sola pieza, luego, dos,
tres, hasta llegar a utilizar las siete piezas.
a) ¿Cuántos triángulos puedes formar en cada caso? ¿Estás seguro que no existen más?
b) Clasifica los que encontraste en función: b.1) De la medida de sus ángulos. b.2) De la
medida de sus lados.
c) ¿Cuál es el triángulo de mayor perímetro? ¿Cuál es el de mayor área?
2. Forma rectángulos con las piezas del tangram. Utiliza diferente números de piezas hasta
llegar a utilizar las siete. a) ¿Cuántos rectángulos puedes formar en cada caso? b) ¿Cuál es
el de mayor perímetro? ¿Cuál es el de mayor área?
3. Utilizando algunas piezas del tangram, construye figuras semejantes. Dibújalas en papel
cuadriculado y anota la relación entre sus lados y sus áreas. construye dos cuadrados y
encuentra su razón de semejanza.
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4. ¿Qué combinación de piezas dan como resultado otra pieza del tangram? Encuentra
todas las alternativas posibles.
5. Piense en alguna anécdota o algo que desea contar a sus amigos y nárrela haciendo uso
de las piezas del tangram (debe usarlas todas en cada ocasión).
6. a) Si damos al triángulo más pequeño el valor 1, ¿qué valor daremos a las demás
piezas?
b) Si damos al cuadrado el valor 1, ¿qué valor daremos a las demás piezas?
c) Si damos al cuadrado grande (formado con todas las piezas del tangram) el valor 1, ¿qué
valor daremos a las demás piezas?
d) Si damos al triángulo intermedio el valor 1, ¿qué valor daremos a las demás piezas?
e) Si sumamos todos los números asociados a las figuras en la actividad anterior, ¿qué
número resultará?
Medida
Considerando como unidad de medida de longitud la dimensión del lado de la pieza
cuadrada B, encuentra:
7. Las dimensiones y el perímetro de cada pieza perímetro de cada pieza.
8. ¿Qué fracción, respecto del tangram, le corresponde a cada pieza?
9. Si la pieza E midiese 2, 3, etc. unidades, ¿qué fracción representaría a cada una de las
piezas?, y ¿el tangram completo?
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Completa la siguiente tabla:
Pieza
A
B
C
D
E
fracción
Perímetro
decimal
porcentaje fracción
área
decimal
porcentaje
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TRANSFORMACIONES EN EL PLANO
SECUENCIA DE ACTIVIDADES
LOGRO BÁSICO: Soluciona problemas asociados a las figuras planas.
CLASE N°1: TRASLACIONES Y ROTACIONES
MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN
Una TRASLACIÓN es un movimiento en el
plano en el cual todos los puntos de una
figura se mueven en la misma dirección y
la trayectoria de cada punto es una línea
recta.
Para dar la dirección y el número de
unidades que se va a trasladar una figura,
se toma como base un vector.
Por ejemplo, el cuadrilátero ABCD que se
muestra en la figura, se ha trasladado en
el sentido que indica la punta de la flecha
del vector u, con la dirección dada por su
inclinación y una magnitud igual a su
longitud.
MOVIMIENTO DE ROTACIÓN
Una ROTACIÓN es un movimiento mediante el cual
una figura gira alrededor de un punto fijo llamado
centro de rotación.
En este tipo de movimiento, cada punto de la figura
describe un arco de circunferencia.
Para rotar una figura en el plano es necesario
conocer, además del centro de rotación, el sentido y
la amplitud del giro
La siguiente gráfica nos muestra un punto que gira
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90º en sentido positivo (o antihorario )
En la gráfica siguiente el triángulo BCD rotó 120° en sentido negativo en torno al centro
de rotación O
CLASE Nº2: APLICACIÓN EN GEOGEBRA
Construya en el plano cartesiano el
polígono con coordenadas: (-3,1),
(-1,3), (1,3) y (3,1)
Active la opción Vector entre dos puntos. Defina el vector BD, entre las coordenadas E =
(3,3) y F = (6,6)
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Active la opción Traslada objeto por vector. Traslade el trapecio ABCD en la dirección y
sentido del vector BD Permita que se observen las coordenadas del trapecio A´B´C´D´.
Para rotarlo active la opción rota objeto alrededor del un punto por un ángulo. Rote el
trapecio ABCD con centro en el punto G (0,0), con un ángulo de 180º Permita que se
observen las coordenadas del trapecio A´B´C´D´.
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¿Los trapecios son iguales o diferentes
¿Qué direcciones tienen los trapecios?
¿Qué relación encuentras en los trapecios formados?
¿Cómo son las áreas y los ángulos de dichos trapecios?
CLASE Nº3: REFLEXIÓN EN EL PLANO CARTESIANO
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La reflexión con respecto a un eje se conoce también como
simetría axial. Cuando en una figura una de sus mitades se
puede obtener por reflejo de la otra, se dice que la figura es
simétrica. Al eje de reflexión correspondiente se le denomina
eje de simetría.
FIGURAS SIMÉTRICAS
Una figura se llama simétrica si existe una recta tal que tomada
como eje de simetría transforma a la figura en ella misma.
Hay figuras que tiene varios ejes de simetría. Por ejemplo, un rectángulo tiene dos, un
cuadrado cuatro y un círculo infinitos (cualquier recta que pasa por su centro es eje de
simetría.
Por lo tanto, para hallar la imagen de una figura cualquiera con respecto a uno de los ejes
coordenados, basta hallar los simétricos con respecto a dichos ejes de cada uno de los
puntos (vértices) de la figura dada y finalmente unirlos
Reflexión en el Plano Cartesiano
Observemos las siguientes figuras donde se muestran los simétricos de un punto y luego la
imagen de una figura con respecto al eje X y finalmente respecto al eje Y
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Obsérvese que las figuras A´B´C´D´
ORIGEN.
y
A´´B´´C´´D´´
son simétricas respecto al
CLASE Nº4: HOMOTECIAS EN EL PLANO CARTESIANO
Como hemos hecho en las anteriores transformaciones, tomaremos como centro de la
Homotecia, el Origen del Sistema Cartesiano.
Además debemos tener en cuenta que para hallar la Homotecia de una figura geométrica,
se multiplican las coordenadas del cada punto por el factor de dilatación, Ejemplo, si uno
de los puntos de la figura es P (-3, 4) y el factor de dilatación es 3; la imagen de P será el
punto P’ (-9, 12) es decir 3* (-3, 4)
Ejemplo:
Tenemos un triángulo cuyas coordenadas son: A (2 , 1 ) B ( 3 , 0 ) y C ( 1, -1 ) y le
aplicamos una Homotecia con centro en el origen y factor de dilatación igual a 3. Como se
puede observar cada vértice del triángulo imagen tiene por coordenadas el triple de las
coordenadas de los vértices del triángulo original.
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¿Cual es la relación entre la medida de los lados de los triángulos?
¿Cuál es la relación entre sus áreas?
¿Cuál es la medida de sus ángulos?
CLASE Nº5: APLICACIÓN EN GEOGEBRA
REFLEXIÓN
Dibuja una recta (eje de simetría) y un polígono.
Usa la herramienta Refleja objeto en recta: para que el
programa dibuje la figura simétrica del polígono debes
hacer clic sobre él y sobre el eje de simetría.
Una vez hecha la simetría, puedes comprobar que el eje
de simetría es la mediatriz de los segmentos que unen
cada punto del polígono inicial con su homólogo del
polígono transformado.
HOMOTECIA
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Construya el trapecio ABCD, utilizando la opción polígono, tomando como vértices
respectivos las coordenadas (-3,1), (-1,3), (1,3) y (3,1)
Primeramente defina el punto E, E = (3,3), luego active la opción Dilata objeto desde el
punto por un factor.
Luego da un clic al interior del
polígono y luego en el punto E.
Aparecera un cuadro de
diálogo que preguntará el
factor que desea se utilice
para aplicar la homotecia, en
nuestro caso escribiremos 2 y
luego aplica.
El polígono A´B´C´D´ es el resultado de aplicar la homotecia al polígono ABCD:
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CLASE Nº6: ESCHER Y LOS MOVIMIENTOS EN EL PLANO
1. Elige 3 de las siguientes teselaciones de M.C. Escher y realiza para ellas un análisis
de sus trasformaciones, con base en los ejemplos anteriores
2. Crea una plantilla e inventa tu propia teselación. Realízala con diferentes
materiales para exponerla en clase.
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ACTIVIDADES DE TRABAJO AUTÓNOMO
Aplica los movimientos de reflexión, rotación y traslación en la siguiente figura utilizando
los comandos del software, teniendo en cuenta las condiciones presentadas para cada
homotecia.
Aplicación de la reflexión en la grafica
Refleja la figura con respecto al eje al eje de simetría
Aplicación de la rotación
Rota la figura 150º en sentido contario a las manecillas del reloj con centro de giro
en el punto M (-6,0).
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Aplicación de la traslación
Traslada la figura cinco unidades hacia abajo y seis unidades hacia la izquierda
Aplicación de la homotecia
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Realiza una homotecia a razón de 2/5 de la figura inicial, mide sus ángulos ¿qué
puedes concluir?
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