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UNIVERSIDAD EXTERNADO DE COLOMBIA
FACULTAD DE CONTADURÍA PÚBLICA
PROGRAMA DE PREGRADO
CICLO DE FUNDAMENTACIÓN
NOMBRE DE LA MATERIA: ÁLGEBRA LINEAL
SEMESTRE
CÓDIGO DE LA MATERIA
CRÉDITOS
PERÍODO ACADÉMICO
PRERREQUISITOS
DOCENTE
CORREO ELECTRÓNICO
COORDINADOR DEL CICLO
CORREO ELECTRÓNICO:
: Tercero
: CO 0854
:3
: 2016-II
: Cálculo II
: Manuel Pérez Velasco
: manuel.perez@uexternado.edu.co
: José Ubaldo Díaz Henao
jose.diaz@uexternado.edu.co
1. JUSTIFICACIÓN.
LA COMUNICACIÓN EN MATEMÁTICAS.
Cuando un estudiante se enfrenta a un curso de matemáticas, uno de los
elementos esenciales a lo largo del proceso enseñanza–aprendizaje es, sin
duda, el lenguaje, tanto cotidiano como matemático. Estos dos lenguajes,
su comprensión con significado y su relación, son el objetivo del proceso de
formación académica, puesto que el mundo real en el cual se desempañará
el profesional de la Contaduría Pública, es la fuente de todas las situaciones
que le exigirán una interpretación y una solución; mientras que los
conceptos matemáticos serán los que le permitan una representación de
ese mundo real y una o varias propuestas de solución.
En este orden de ideas, el curso de álgebra lineal y teoría de juegos, brinda
a los estudiantes las herramientas necesarias para modelar por medio de
matrices, situaciones comunes en problemas económicos, contables y
administrativos. El fin no es solamente poder modelar estas situaciones,
sino que con ayuda de estas representaciones se puedan optimizar
procesos para tomar las mejores decisiones para el sistema económico, la
empresa o para poder hacer análisis de pensamiento estratégico.
Desde luego es necesario reconocer que los elementos conceptuales que
brinda el estudio del álgebra lineal en lo referente a espacios vectoriales y
transformaciones lineales, son de esencial uso en desarrollos posteriores
para entender teoremas de matemáticas financieras avanzadas en el
estudio de derivados financieros. Pero el objetivo de este curso se limita
solamente al uso en representaciones para toma de decisiones en
problemas de programación lineal y teoría de juegos.
Las matrices son simplemente arreglos numéricos y el álgebra matricial que
permite operar con las matrices tienen siempre una aplicación potencial si la
información numérica que se acomoda de forma significativa en bloques
rectangulares, representa aspectos reales.
Los sistemas de ecuaciones lineales que pueden surgir de problemas de
distribución de recursos o de planeación empresarial pueden solucionarse
por métodos matriciales de forma mucho más rápida y sencilla. El uso de
tecnologías permite encontrar rápidamente soluciones.
Aunque la frase programación lineal
pareciera implicar un código
computacional, en realidad la palabra programación proviene del uso que
se le dio en la terminología militar durante la segunda guerra mundial. El
entrenamiento, el abastecimiento y los planes de despliegue de las
unidades militares fueron llamados programas. Cada uno de estos
programas era una solución a un problema de asignación de recursos. Este
es el problema central de la economía y el problema específico de la
empresa. El uso de programas computacionales y de programación de los
mismos facilitan la solución de estos problemas. Pero el planteamiento, el
logro de la modelación es lo que en realidad permite el uso de estos
métodos y es en este frente en el que trabajamos para lograr los objetivos
del curso.
La modelación matemática ya no es algo nuevo en esta instancia y todo lo
que se ha logrado con los cursos anteriores sienta las bases necesarias
para que los problemas a solucionar sean cada vez más reales y complejos
y den solución a una mayor cantidad de situaciones típicas de los
problemas que enfrentará el contador público. Los elementos conceptuales
adquiridos en cursos anteriores nunca estarán desligados de este curso por
el contrario serán soportes de lo que se quiere.
Los estudiantes se enfrentan ahora a un ambiente en el que las decisiones
que se toman no solamente están determinadas por situaciones inherentes
al problema empresarial. Contable o económico que se ha optimizado, sino
que las decisiones de otros agentes pueden implicar diferencias en las
ganancias que se perciban. Ahora los estudiantes deben ser conscientes de
la situación que se genera en los mercados competitivos.
La toma de decisiones va más allá del problema interno, trasciende a la
interacción con el mercado y a la situación coyuntural. Por eso el
pensamiento estratégico en la toma de decisiones complementa esta
búsqueda del óptimo que se mantiene a lo largo de toda la formación.
Encontrar la mejor solución o la mejor decisión a situaciones modeladas es
ahora más que nunca el objetivo central del curso.
LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS COMO METODOLOGÍA DE
APROPIACIÓN DE LA REALIDAD.
Una de las conductas más inteligentes de las personas es la capacidad de
dar solución a situaciones que generan dificultad; esta conducta contiene
una utilidad práctica destacada, pues la vida misma obliga a resolver
problemas continuamente, es por ello que el proceso enseñanza–
aprendizaje debe estar orientado no a depositar contenidos en los
estudiantes, sino a desarrollar sus capacidades para que puedan
enfrentarse al mundo, a su dinámica.
En el caso particular de la enseñanza de la matemática, el desarrollo de
técnicas de cómputo (en sus diferentes niveles de dificultad) evidencia de
primera mano la capacidad de una persona de usar la matemática, pero no
necesariamente la asimilación de los conocimientos (conceptos e
interpretación de resultados). Como respuesta a ello, la propuesta de una
metodología con el enfoque de resolución de problemas busca dejar de
lado la enseñanza de la matemática vista con el único propósito de que los
estudiantes respondan acertadamente a ejercicios con diferentes grados de
dificultad, ofreciendo como respuesta un resultado numérico (o a veces
gráfico).
Con el enfoque de resolución de problemas se pretende que el futuro
profesional de Contaduría Pública proponga posibles soluciones a
situaciones propias de su entorno a través del uso de conceptos
matemáticos, lo cual exige la disposición de dichos conceptos para el
alcance de un fin identificable e identificado por quien se enfrenta a la
necesidad de ofrecer una respuesta propositiva ante la dificultad
presentada.
SABER Y SABERLO DEMOSTRAR.
A toda persona que alcanza determinado nivel de conocimiento, le resulta
imperioso en algún momento de su vida sustentar los saberes que ha ido
construyendo. De aquí que se haga indispensable que en el contexto de
clase se otorguen momentos especiales y periódicos que le permitan al
Administrador de Empresas en formación, fortalecer sus conocimientos a
partir de la argumentación de los mismos y de las propuestas de solución
que presenta a los problemas teóricos relacionados con su futuro
desempeño profesional.
Saber y saberlo demostrar es argumentar, esto es, ofrecer un conjunto de
razones o de pruebas en apoyo a una conclusión, lo cual a su vez implica
afianzar un conocimiento específico de una disciplina, al mismo tiempo que
construir un conocimiento acerca de las estrategias que pueden usarse
para socializar ese conocimiento disciplinar específico, es decir, para
socializar el saber (o lo que se sabe) y defender los puntos de vista acerca
de cómo se entiende (interpreta), representa (matematiza) y soluciona
(competencia propositiva) un problema determinado. En otras palabras, no
sólo se solidifican los saberes matemáticos sino que también se potencia la
producción de formas discursivas.
En definitiva, la creación de estos momentos de argumentación no sólo
fortalece los conocimientos propios de las matemáticas, sino que le exige al
estudiante la aprehensión de conceptos propios de los diferentes saberes
que requiere para afrontar la solución de un problema.
2. OBJETIVO GENERAL.
Reconocer la metodología de resolución de problemas reales a través del uso de
conceptos matemáticos, como un modo de desempeño profesional que permite
identificar entre diferentes estrategias de solución a las situaciones presentadas,
aquella que otorga la solución óptima además de modelar por medio del uso de
matrices y del álgebra matricial, problemas de optimización que se solucionan con
métodos tradicionales de soluciones de sistemas de ecuaciones y por medio de
mejores respuestas con los métodos de programación lineal gráfica y simplex.
Modelar problemas de toma de decisiones en dónde la mejor decisión está ligada
a la elección de agentes externos que deciden de forma racional “egocéntrica” y
maximizadora. Al mismo tiempo que estudiar los problemas de decisiones en
cooperación con ambientes de jugadores que compiten en negociaciones donde
es necesario encontrar la base de negociación.
3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
 Establecer vectores representativos y operar con ellos identificando
los resultados obtenidos.
 Establecer matrices representativas y operar con ellas identificando
los resultados obtenidos.
 Representar con el uso de matrices, sistemas de ecuaciones que
permitan modelar y dar solución a problemas de económicos y de
empresa.
 Distinguir relaciones entre variables que pueden representarse con
modelos lineales de aquellas que no.
 Argumentar las ventajas y desventajas que ofrecen las diferentes
alternativas de solución a un problema planteado.
 Modelar situaciones de toma de decisiones en contextos que
involucran el azar y la competencia.
 Modelar situaciones que contemplan como solución las alianzas,
fusiones, toma de decisiones bajo posibles ambientes de
negociación, conociendo el verdadero poder de esta.

Escoger entre las diferentes estrategias de solución a un problema
planteado aquella que lo resuelva de forma óptima.
4. CONTENIDO TEMÁTICO:
1.
¿Qué conceptos en la empresa se representan con vectores? Los vectores como
herramienta de representación y cálculo.
1.1.
Operaciones con vectores ilustración gráfica.
1.2.
Operaciones con vectores forma analítica.
2.
Matrices, representación de situaciones económicas, de producción, distribución y
consumo.
2.1.
Operaciones con matrices y problemas de empresa.
2.2.
Sistemas de ecuaciones y representaciones matriciales.
3.
3.1.
3.2.
3.3.
Problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones:
El método de la inversa de una matriz.
El método de reducción de Gauss-Jordan.
Problemas que se resuelven planteando sistemas lineales.
4.
Optimización en sistemas lineales.
4.1.
Programación lineal el método gráfico.
4.2.
Optimización en sistemas lineales. El método simplex. Problemas que se resuelven
planteando sistemas lineales en múltiples variables. Problemas de maximización.
4.3.
Optimización en sistemas lineales. La dualidad. Problemas que se resuelven planteando
sistemas lineales en múltiples variables. Problemas de minimización.
4.4.
Aplicaciones reales en problemas específicos de empresa.
5.
Generalidades de la teoría de juegos. El valor esperado como criterio de decisión.
5.1.
El valor esperado como criterio de toma de decisiones.
5.2.
Definición de un juego. El lenguaje para representarlo.
5.3.
Clasificaciones y representaciones. Los problemas de información, simultaneidad y
secuencialidad en representaciones.
6.
Pensamiento estratégico, toma de decisiones óptimas en situaciones que involucran el
azar o un comportamiento de un agente o un ente exógeno a los modelos.
6.1.
Decisiones en situaciones de un jugador y contra la naturaleza. Posturas ante el riesgo.
6.2.
Métodos de solución para juegos no cooperativos. Dominancia, inducción hacia atrás,
Posturas ante el riesgo, criterios maxmin y maxmax.
6.3.
Criterio de la mejor respuesta y equilibrios de Nash en estrategias puras. Los equilibrios en
estrategias mixtas.
6.4.
Los equilibrios múltiples y los no creíbles, el análisis en subjuegos.
6.5.
Los juegos cooperativos. La unidad de análisis y las funciones características. El poder de
negociación y el valor de Shapley.
5. METODOLOGÍA.
CLASE
FECHA
Estrategia
Socialización
NTF
TEMA
Introducción al curso. Reglas de juego.
no
no
Vectores en R^2 y en R^3. Definición geométrica,
definición algebraica, magnitud y dirección. Vectores
en Rn.
si
no
3
Vector unitario, operaciones, producto vector escalar,
producto escalar, suma, propiedades.
si
no
4
Matrices: definición y clases.
si
no
Operaciones: Producto de un escalar por una matriz,
suma, producto de dos matrices. Propiedades.
si
no
6
Operaciones: Potencias de matrices, transpuesta de
una matriz, matriz identidad, inversa de una matriz.
Propiedades.
no
no
7
Operaciones entre filas, matrices semejantes. matriz
inversa. Ejercicios
no
no
no
no
1
2
Semana
1:
5
Semana
2:
8
Semana
3:
Determinante de una matriz.
determinante, propiedades
Cálculo
de
un
9
Taller
no
no
10
Menores de una matriz. Cofactores de una matriz.
no
no
Cálculo de la matriz inversa por el método de
cofactores.
no
no
Sistemas de ecuaciones lineales. Forma matricial.
Solución: Métodos de Gauss - Jordan.
no
no
Taller
no
no
Taller
no
no
no
no
11
Semana
4:
12
13
14
15
Semana
5:
Primer parcial
CLASE
FECHA
Socialización Parcial
16
17
Estrategia
Socialización
NTF
TEMA
Semana
6:
PRIMER CORTE 30%
no
no
no
no
18
Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales.
no
no
19
Sistemas de ecuaciones lineales. Forma matricial.
Solución: Métodos de Gauss – Jordan
no
no
Tipos de solución en sistemas de ecuaciones
no
no
Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el
método de la inversa.
no
no
Programación Lineal. Sistemas de inecuaciones
lineales.
si
no
Planteamiento de modelos de programación lineal
Solución por el método gráfico
no
no
24
Taller
no
no
25
El método simplex. Ejercicios
si
si
El método simplex. Ejercicios
si
si
27
El método simplex. Ejercicios
si
si
28
Taller
no
no
Taller preparcial.
no
no
20
Semana
7
21
SEMANA DE RECESO
22
23
26
29
Semana
8:
Semana
9:
Semana
10:
SEGUNDO PARCIAL
30
Socialización Parcial
31
32
Semana
11:
SEGUNDO CORTE 30%
33
Dualidad.
si
no
34
Ejercicios de minimización.
si
no
Taller
no
no
Teoría de juegos, introducción. Representaciones,
clasificación. Problemas de información, acciones y
estrategias.
si
no
Juegos de un jugador, juegos contra la naturaleza.
Posturas ante el riesgo. Inversores. Valores maxmin y
maxmax. T de Von Newman.
si
no
35
Semana
12:
36
37
Semana
13:
CLASE
FECHA
Estrategia
Socialización
NTF
TEMA
38
Taller
si
no
39
Estrategias dominadas, dominancia, equilibrio de un
juego, primer acercamiento. El método de eliminación
iterativa de estrategias estrictamente dominadas. El
método de inducción hacia atrás y la perfecta
información.
si
no
40
Taller
no
no
Criterio de la mejor respuesta y equilibrios de Nash en
estrategias puras.
si
si
42
Taller
no
no
43
La incertidumbre en la elección de estrategias el
equilibrio de Nash en estrategias mixtas
no
no
Taller
no
no
45
Como eliminar equilibrios múltiples, los problemas de
información y el análisis en subjuegos
no
no
46
Los juegos cooperativos
no
no
Caracterización y unidades de análisis. Funciones
características
no
no
Poder de juego, El valor de shapley. Taller
no
no
41
44
47
Semana
14:
Semana
15:
Semana
16:
48
49
Semana
17:
Examen Final
6. EVALUACIÓN.
Primer corte 30%: dos parciales cada uno del 10% y 10% de quices.
Segundo corte 30%: dos parciales cada uno del 10% y 10% de quices y avances
de NTF.
Tercer corte 40%: Examen final 20%, NTF 10%, quices 10%.
7. BIBLIOGRAFÍA
Arya, Jagdich C. y Lardner, Robin W. (2002). Matemáticas aplicadas a la
Administración y a la Economía . Pearson Prentice Hall
Tan, S.T. (2002). Matemáticas para Administración y Economía . Thomson
learning. Segunda edición.
Grossman, Stanley I. Algebra lineal . Editorial Mc Graw Hill. Sexta edición.
Haeussler, Ernest F. / Paul, Richard S. / Wood, Richard J. Matemáticas para
Administración y Economía. Ed. Pearson / Prentice Hall. Decimosegunda
edición.
Sabogal, Carlos / Ardila, Esperanza. Álgebra y programación lineal .
Universidad Externado de Colombia.
Moreno Osorio, Luis G. Teoría de la decisión . Bogotá, Universidad Nacional
de Colombia, 2011.
baye, michael r. Economía de empresa y estrategia empresarial , 5.ª ed.,
España, McGraw Hill, 2006.
dixit, avinash k.; barry j. nalebuff. Pensar estratégicamente: un arma decisiva
en los negocios, la política y la vida diaria , Barcelona, España, Antoni Bosch,
2004.
fernández ruiz, jorge. Teoría de juegos: su aplicación en economía , 1ª. ed.,
México D.F., El Colegio de México, 2002.
gardner, roy. Juegos para empresarios y economistas , 1.ª ed., Barcelona,
Antoni Bosch, 1996.
Naranjo Martínez, Carlos Andrés. Lecciones de matemáticas para abogados
2.0, 2ª ed., Bogotá D.C., Universidad Externado de Colombia, 2013.
monsalve, sergio; julián arévalo. Un curso de teoría de juegos clásica , 1.ª ed.,
Bogotá D.C., Universidad Externado de Colombia, 2005.